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Em matemática, mais especificamente em teoria dos conjuntos, o conjunto vazio é o único conjunto que não possui elementos. Dizemos que o seu tamanho ou cardinalidade é zero. Em algumas teorias de conjuntos a sua existência é postulada mediante o axioma do conjunto vazio; em outras é deduzida.

Um termo alternativo para conjunto vazio, porém inadequado, é conjunto nulo^[1] que possui, em teoria da medida, um significado técnico não-equivalente. Realmente, o conjunto vazio é, por definição de medida, um conjunto de medida nula, mas é o único conjunto de medida nula sem elementos.

Símbolo usado para denotar o conjunto vazio

Uma notação para o conjunto vazio, bastante comum, é "{ }"^[2]. Duas outras notações, igualmente comuns, são "∅{displaystyle varnothing }"^[3] e "∅{displaystyle emptyset }"^[4]. Estas foram introduzidas pelo grupo Bourbaki (mais especificamente por André Weil), em 1939, e são inspiradas na letra Ø do alfabeto dano-norueguês (e não possuem, de maneira alguma, relação com a letra grega Φ)^[5]. Outras notações para o conjunto vazio, de uso menos frequente, são "Λ" e "0"^[6].

Unicidade |

Uma consequência direta do axioma da extensão é

Existe um único conjunto vazio.

Ora, se U{displaystyle U} e V{displaystyle V} são conjuntos distintos, deduz-se com o axioma da extensão que

(∃x)(x∈U∖V∨x∈V∖U).{displaystyle (exists x)(xin Usetminus Vlor xin Vsetminus U).}

Mas isto, por sua vez, implica

(∃x)(x∈U∨x∈V).{displaystyle (exists x)(xin Ulor xin V).}

Logo, U{displaystyle U} e V{displaystyle V} distintos não podem ser ambos vazios.

Apenas em palavras:

Se dois conjuntos são diferentes então, pela contrapositiva do axioma da extensão, um deles possui um elemento que o outro não possui. Como os conjuntos em questão são vazios, não possuem elemento algum e, assim, somos obrigados a admitir que são iguais.

Propriedades |

Muitas propriedades sobre conjuntos são trivialmente satisfeitas pelo conjunto vazio. Por exemplo, para mostrar que um conjunto B{displaystyle B} é subconjunto de um conjunto A{displaystyle A}, é necessário mostrar que todo elemento de B{displaystyle B} é também um elemento de A{displaystyle A}. E, logicamente, para mostrar que B{displaystyle B} não é subconjunto de A{displaystyle A}, é preciso exibir um elemento de B{displaystyle B} que não seja elemento de A{displaystyle A}. Assim, em particular, como ∅{displaystyle varnothing } não possui elementos, não é possível mostrar que ∅{displaystyle varnothing } não é subconjunto de um conjunto dado A{displaystyle A}. Logo, somos obrigados a aceitar que ∅⊂A{displaystyle varnothing subset A} qualquer que seja o conjunto A{displaystyle A}.

Tal como se argumenta em favor de que ∅⊂A{displaystyle varnothing subset A} para todo conjunto A{displaystyle A}, mostra-se que o conjunto vazio é um conjunto aberto da reta. De fato, para mostrar que ∅{displaystyle varnothing } é aberto precisa-se mostrar que todo ponto de ∅{displaystyle varnothing } é ponto interior. Como ∅{displaystyle varnothing } não possui pontos, não possui também pontos que não são interiores e, assim, é, por impossibilidade de prova em contrário, um aberto da reta.

Em geral, para refutar que um conjunto A{displaystyle A} não possui uma propriedade p{displaystyle p} é necessário exibir um x∈A{displaystyle xin A} que invalida a propriedade, isto é, tal que p(x){displaystyle p(x)} é falsa. Assim, como ∅{displaystyle varnothing } não possui elementos, é comum não se poder mostrar que ∅{displaystyle varnothing } não possui uma dada propriedade p{displaystyle p}. Dizemos que tais propriedades são verdadeiras por vacuidade (isto é, por impossibilidade de mostrar-se o contrário).

Propriedades topológicas |

• O conjunto vazio é aberto. De fato, por definição de topologia; ou ainda, como argumentado acima, porque não contém pontos que não sejam interiores.


• O conjunto vazio é fechado. Por definição de topologia, o espaço inteiro é sempre aberto. Deste modo, como complementar de aberto é fechado, segue que o vazio é fechado. Noutros termos, um conjunto é fechado quando contém todos os seus pontos de acumulação. Como ∅{displaystyle varnothing } não possui pontos, não existem sequências de pontos (xn)n∈N⊂∅{displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }subset varnothing } e, assim, ∅{displaystyle varnothing } não possui pontos de acumulação e é, portanto, fechado.


• O conjunto vazio é compacto. Como todo conjunto finito é compacto, ∅{displaystyle varnothing } é compacto. Mais trivialmente, como ∅{displaystyle varnothing } está contido em todo conjunto, em particular nos abertos, qualquer coleção finita de abertos cobre ∅{displaystyle varnothing }.


• O conjunto vazio é conexo. Ora, para que ∅{displaystyle varnothing } fosse desconexo, seria preciso que existissem dois abertos U{displaystyle U} e V{displaystyle V} não-vazios e disjuntos tais que U∪V=∅{displaystyle Ucup V=varnothing }. Agora, a união de dois conjuntos não-vazios é sempre não-vazia e, portanto, U∪V≠∅{displaystyle Ucup Vneq varnothing } para quaisquer abertos não-vazios U{displaystyle U} e V{displaystyle V}.

Supremo e ínfimo |

Uma vez que o conjunto vazio não possui elementos, quando considerado como um subconjunto de um conjunto ordenado, todo elemento do conjunto ordenado é uma cota superior e, também, uma cota inferior para o conjunto vazio. Por exemplo, quando considerado como um subconjunto de R{displaystyle mathbb {R} }, munido da ordem usual, todo número real é tanto uma cota superior como uma cota inferior para o conjunto vazio^[7]. Assim, na reta real estendida, temos

sup∅=min({−∞,+∞}∪R)=−∞{displaystyle sup varnothing =min({-infty ,+infty }cup mathbb {R} )=-infty }

e

inf∅=max({−∞,+∞}∪R)=+∞.{displaystyle inf varnothing =max({-infty ,+infty }cup mathbb {R} )=+infty .}

Teoria das categorias |

Dado um conjunto A{displaystyle A} qualquer, ∅×A=∅{displaystyle varnothing times A=varnothing } e, assim, existe uma única função f:∅→A{displaystyle f:varnothing rightarrow A}, a função vazia. Como resultado, o conjunto vazio é o único objeto inicial na categoria dos conjuntos.

Podemos ainda fazer do conjunto vazio um espaço topológico, chamado espaço vazio, definindo sobre ele a seguinte topologia: τ={∅}{displaystyle tau ={varnothing }}. Este espaço topológico é o único objeto inicial na categoria dos espaços topológicos.

Questões filosóficas |

Se por um lado o conceito de conjunto vazio é comum e amplamente aceito em matemática, por outro permanece como uma curiosidade ontológica, sendo discutido por filósofos e lógicos.

O conjunto vazio não é o mesmo que nada; é um conjunto com nada dentro e um conjunto é sempre algo. Esta questão pode ser melhor ilustrada com a analogia: uma sacola vazia, mesmo que vazia, ainda existe; e isto não se discute. Darling (2004) explica que o conjunto vazio não é nada senão "o conjunto de todos os triângulos com quatro lados, de todos os números maiores do que nove e menores do que oito, e o conjunto de todos os movimentos de abertura, em xadrez, que envolvam um rei."

O silogismo popular

Nada é melhor do que a eterna felicidade. Um sanduíche de presunto é melhor do que nada. Logo, um sanduíche de presunto é melhor do que a eterna felicidade

é, frequentemente, usado para demonstrar a relação filosófica entre o conceito de nada e de conjunto vazio. Darling escreve que a diferença pode ser vista quando se reescreve as afirmações "Nada é melhor do que a eterna felicidade" e "Um sanduíche de presunto é melhor do que nada" em linguagem mais matemática. De acordo com Darling, as duas afirmações são, respectivamente, equivalentes a "O conjunto de todas as coisas que são melhores do que a eterna felicidade é ∅{displaystyle varnothing }" e "O conjunto {sanduíche de presunto} é melhor do que o conjunto ∅{displaystyle varnothing }". Enquanto a primeira frase é uma comparação entre elementos de conjuntos, a segunda é uma comparação entre dois conjuntos^[8].

Ver também |

• Conjunto unitário


• Urelemento

Notas |

Referências |

• 
  Conway, Jonh B (1978). Functions of One Complex Variable (em inglês) 2nd ed. [S.l.: s.n.] 322 páginas. ISBN 0-387-90328-3 
  


• 
  Darling, D. J (2004). The universal book of mathematics (em inglês). [S.l.]: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-27047-4 
  


• 
  Halmos, Paul R (2001). Teoria ingênua dos conjuntos. Tradução de Lázaro Coutinho. Rio de Janeiro: Ciência Moderna. 178 páginas. ISBN 85-7393-141-8 
  


• 
  Jech, Thomas J (2003). Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 3-540-44085-2 
  


• 
  Lipschutz, Seymour (1976). Teoria dos conjuntos. Tradução de Fernando Vilain Heusi da Silva. Recife: McGraw-Hill do Brasil Ltda 
  


• 
  Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M., 2008. Elementary Real Analysis (em inglês), 2nd ed. Prentice Hall. 740 p. ISBN 978-1434843678
  

Ligações externas |

• 
  Empty set em Encyclopedia of Mathematics (em inglês)


• 
  Weisstein, Eric W. «Empty Set» (em inglês). MathWorld  (em inglês)


• 
  Definition:Empty set em ProofWiki (em inglês)


• 
  Empty Set Unique em ProofWiki (em inglês)

v • e Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
Operações	Produto cartesiano Teoremas de De Morgan Interseção Conjunto de partes Complementar Diferença simétrica União
Conceitos	Cardinalidade Número cardinal Classe Universo construível Elemento Família Função bijectiva Número ordinal Indução transfinita Diagrama de Venn
Conjuntos	Argumento de diagonalização de Cantor Conjunto contável Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto difuso Conjunto hereditariamente finito Conjunto infinito Conjunto recursivo Subconjunto Conjunto transitivo Conjunto não enumerável Conjunto universo
Teorias	Teoria axiomática dos conjuntos Teorema de Cantor Forçamento Teoria de conjuntos de Morse–Kelley Teoria ingênua dos conjuntos New Foundations Paradoxos Principia mathematica Paradoxo de Russell Problema de Suslin NBG Teoria de conjuntos de Zermelo ZFC Teorias de conjuntos alternativas
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