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Ilustração artística de um espaço vetorial
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Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o espaço vetorial ou espaço linear.
A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto.[1]
Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a n{displaystyle n} (n∈N{displaystyle nin mathbb {N} }) formam um espaço vetorial,[2] por exemplo, assim como grupos de matrizes m×n{displaystyle mtimes n}[3] e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais.
Índice
1Definição
2Exemplos
3Propriedades
4Terminologia
5Tipos de espaços vectoriais
6Ver também
7Referências
8Bibliografia
9Ligações externas
Definição |
Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:
Um corpoK,{displaystyle K,} ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares.[4][1] Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
Um conjunto V{displaystyle V} dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +{displaystyle +}) de V×V{displaystyle Vtimes V} em V.{displaystyle V.} Os elementos de V{displaystyle V} serão chamados de vetores.[4][1]
Uma operação ⋅{displaystyle cdot } de K×V{displaystyle Ktimes V} em V.{displaystyle V.}
Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, são usados os símbolos de soma (+{displaystyle +}) e produto (⋅{displaystyle cdot }) para representar, em cada caso, duas funções distintas: a+b{displaystyle a+b} para elementos de K{displaystyle K} não é o mesmo que a+b{displaystyle a+b} para elementos de V,{displaystyle V,} assim como a⋅b{displaystyle acdot b} para elementos de K{displaystyle K} não é o mesmo que a⋅b{displaystyle acdot b} quando a{displaystyle a} ∈ K{displaystyle K} e b{displaystyle b} ∈ V.{displaystyle V.} Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar (+,×){displaystyle (+,times )} para as operações de K{displaystyle K} e (⊕,⊗){displaystyle (oplus ,otimes )} para as operações de V×V{displaystyle Vtimes V} em V{displaystyle V} e de K×V{displaystyle Ktimes V} em V.{displaystyle V.} Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com seis elementos) (V,K,⊕,⊗,+,×).{displaystyle (V,K,oplus ,otimes ,+,times ).}
Os seguintes axiomas (além de K{displaystyle K} ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vectorial:[5][1]
(u+v)+w=u+(v+w){displaystyle (u+v)+w=u+(v+w)} para u,v,w∈V{displaystyle u,v,win V} (associatividade)
Há um elemento 0{displaystyle 0} ∈ V,{displaystyle V,} tal que, para cada v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,}v+0=0+v=v{displaystyle v+0=0+v=v} (existência de elemento neutro)
Para cada v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,} existe u{displaystyle u} ∈ V{displaystyle V} tal que v+u=0{displaystyle v+u=0} (existência de elemento oposto)
Para cada v,u{displaystyle v,u} ∈ V,{displaystyle V,}u+v=v+u{displaystyle u+v=v+u} (comutatividade)
Para cada a,b{displaystyle a,b} ∈ K{displaystyle K} e cada v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,}a⋅(b⋅v)=(a⋅b)⋅v{displaystyle acdot (bcdot v)=(acdot b)cdot v} (associatividade da multiplicação por escalar)
Se 1{displaystyle 1} é a unidade de K,{displaystyle K,} então, para cada v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,}1⋅v=v{displaystyle 1cdot v=v} (existência do elemento neutro em V{displaystyle V})
Para cada a{displaystyle a} ∈ K{displaystyle K} e cada v,u{displaystyle v,u} ∈ V,{displaystyle V,}a⋅(v+u)=a⋅v+a⋅u{displaystyle acdot (v+u)=acdot v+acdot u} (distributiva de um escalar em relação à soma de vetores)
Para cada a,b{displaystyle a,b} ∈ K{displaystyle K} e cada v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,}(a+b)⋅v=a⋅v+b⋅v{displaystyle (a+b)cdot v=acdot v+bcdot v} (distributiva da soma de escalares em relação a um vetor)
Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano. O elemento u{displaystyle u} cuja existência é garantida pelo terceiro axioma é único (como em qualquer grupo) e representa-se por −v.{displaystyle -v.}
O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto V{displaystyle V} é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo K,{displaystyle K,} e definir adição em V{displaystyle V} e multiplicação por escalar em V.{displaystyle V.} Então se V{displaystyle V} satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo K.{displaystyle K.}
Em uma demonstração rigorosa, os axiomas 2 e 3 (elemento neutro e elemento oposto em V{displaystyle V}) podem ser omitidos, porque eles podem ser facilmente deduzidos a partir dos outros axiomas:
Sejam 0 e 1 os elementos neutros aditivo e multiplicativo de K.{displaystyle K.} Então, como 1⋅v=v{displaystyle 1cdot v=v} qualquer que seja v{displaystyle v}, temos que 0⋅v+v=0⋅v+1⋅v=(0+1)⋅v=1⋅v=v{displaystyle 0cdot v+v=0cdot v+1cdot v=(0+1)cdot v=1cdot v=v}, ou seja, 0⋅v{displaystyle 0cdot v} é o elemento neutro de V.{displaystyle V.}
Em K{displaystyle K}, existe um elemento −1{displaystyle -1} tal que −1+1=0.{displaystyle -1+1=0.} Logo, (−1)⋅v+v=(−1)⋅v+1⋅v=(−1+1)⋅v=0⋅v{displaystyle (-1)cdot v+v=(-1)cdot v+1cdot v=(-1+1)cdot v=0cdot v}, ou seja, (−1)⋅v{displaystyle (-1)cdot v} é o elemento oposto de v.{displaystyle v.}
Exemplos |
Seja V{displaystyle V} formado por um único elemento a.{displaystyle a.} Então, definindo-se a+a=a{displaystyle a+a=a} e k⋅a=a{displaystyle kcdot a=a} para todo elemento k{displaystyle k} de um corpo K,{displaystyle K,} temos que V{displaystyle V} é um espaço vetorial com K{displaystyle K} como corpo de escalares. Obviamente, como a{displaystyle a} é o elemento neutro de V,{displaystyle V,} isto é, a=0,{displaystyle a=0,} este espaço vetorial é representado por V=0.{displaystyle V={0}.}
Outro exemplo simples é considerar V=K,{displaystyle V=K,} e as operações de espaço vetorial sendo as mesmas operações do corpo.
Seja V=K2{displaystyle V=K^{2}} o conjunto dos pares ordenados de elementos de K.{displaystyle K.} Então, definindo-se (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d){displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)} e k⋅(a,b)=(ka,kb){displaystyle kcdot (a,b)=(ka,kb)}, temos que V{displaystyle V} é um espaço vetorial.
Seja I{displaystyle I} um conjunto qualquer (chamado, neste contexto, de conjunto de indices). Então o conjunto das funções de I{displaystyle I} em K{displaystyle K} é um espaço vetorial, definindo-se naturalmente a soma de duas funções e o produto de um escalar por uma função.
Este último exemplo é, de forma geral, a forma de qualquer outro espaço vetorial, porém este resultado requer, em sua demonstração, conceitos abstratos como a teoria das categorias e o axioma da escolha.
Propriedades |
Se v∈V,{displaystyle vin V,} então 0⋅v=0.{displaystyle 0cdot v=0.}[6] Isto é assim porque
Se a{displaystyle a} ∈ K{displaystyle K} e v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,} então a⋅(−v)=−(a⋅v).{displaystyle acdot (-v)=-(acdot v).}[6] Isto é assim porque
Um espaço vetorial sobre R,{displaystyle mathbb {R} ,} o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
Um espaço vetorial sobre C,{displaystyle mathbb {C} ,} o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vectorial normado.
Tipos de espaços vectoriais |
Espaço Vectorial Euclidiano: É qualquer espaço real que possui um número finito de dimensões e possui uma operação denominada produto interno.[7]
Espaço de Hilbert: É qualquer espaço vetorial que possui uma operação denominada produto interno e cuja métrica gerada por esse produto interno o torne um espaço completo.
Espaço normado: É qualquer espaço vetorial que possui uma norma definida
Espaço de Banach: É um espaço normado completo na métrica gerada por esta norma.
Espaço vectorial topológico: se existe uma topologia compatível com as operações de espaço vectorial.
Ver também |
Base de um Espaço Vetorial
Subespaço vetorial
Módulo (álgebra): a generalização de espaço vetorial, quando o conjunto dos escalares é um anel
Álgebra sobre um corpo: se existe uma multiplicação de vetores satisfazendo alguns axiomas
Referências
↑ abcdNoble & Daniel, 1986, p. 85–86
↑Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 46
↑Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 45
↑ abCallioli, Domingues & Costa, 1990, p. 47
↑Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 44
↑ abCallioli, Domingues & Costa, 1990, p. 50
↑Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 159
Bibliografia |
Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
Noble, Ben; James W. Daniel (1986). Álgebra Linear Aplicada. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil. ISBN 9788570540225A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
Ligações externas |
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Definições no Wikcionário
Livros e manuais no Wikilivros
Wikilivros
Wikcionário
Livro Álgebra Vetorial e Geometria Analítica: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 242 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.
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Need help with this problem. Suppose our lazy professor collects a quiz and a homework assignment from a class of n students one day, then distributes both the quizzes and the homework assignments back to the class in a random fashion for grading. Each student receives one quiz and one homework assignment to grade. (a) What is the probability that every student receives someone else's quiz to grade, and someone else's homework to grade? (b) What is the probability that no student receives both their own quiz and their own homework assignment to grade? In this case, some students may receive their own quiz, and others may receive their own homework assignment. (c) Compute the limiting probability as n approaches infinity in each case.
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edited Dec 10 '18 at 6:38
Vasanth Kris
asked Dec 10 '18 at 6:19
...
ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares.[4][1] Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +{displaystyle +}
) de V×V{displaystyle Vtimes V}
em V.{displaystyle V.}
Os elementos de V{displaystyle V}
de K×V{displaystyle Ktimes V}
em V.{displaystyle V.}
para u,v,w∈V{displaystyle u,v,win V}
(associatividade)
∈ V,{displaystyle V,}
∈ V,{displaystyle V,}
(existência de elemento neutro)
∈ V{displaystyle V}
(existência de elemento oposto)
∈ V,{displaystyle V,}
(comutatividade)
∈ K{displaystyle K}
(associatividade da multiplicação por escalar)
é a unidade de K,{displaystyle K,}
(existência do elemento neutro em V{displaystyle V}
(distributiva de um escalar em relação à soma de vetores)
(distributiva da soma de escalares em relação a um vetor)
Então, como 1⋅v=v{displaystyle 1cdot v=v}
, ou seja, 0⋅v{displaystyle 0cdot v}
é o elemento neutro de V.{displaystyle V.}
tal que −1+1=0.{displaystyle -1+1=0.}
Logo, (−1)⋅v+v=(−1)⋅v+1⋅v=(−1+1)⋅v=0⋅v{displaystyle (-1)cdot v+v=(-1)cdot v+1cdot v=(-1+1)cdot v=0cdot v}
, ou seja, (−1)⋅v{displaystyle (-1)cdot v}
é o elemento oposto de v.{displaystyle v.}
Então, definindo-se a+a=a{displaystyle a+a=a}
e k⋅a=a{displaystyle kcdot a=a}
para todo elemento k{displaystyle k}
de um corpo K,{displaystyle K,}
este espaço vetorial é representado por V=0.{displaystyle V={0}.}
e as operações de espaço vetorial sendo as mesmas operações do corpo.
o conjunto dos pares ordenados de elementos de K.{displaystyle K.}
e k⋅(a,b)=(ka,kb){displaystyle kcdot (a,b)=(ka,kb)}
, temos que V{displaystyle V}
um conjunto qualquer (chamado, neste contexto, de conjunto de indices). Então o conjunto das funções de I{displaystyle I}
então 0⋅v=0.{displaystyle 0cdot v=0.}
[6] Isto é assim porque
Isto é assim porque
[6] Isto é assim porque
o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
