Índice múltiplo
A notação matemática de índices múltiplos simplifica a formulação utilizada em cálculo com múltiplas variáveis, equações de derivadas parciais e na teoria das distribuições. Ela consiste na generalização de um índice inteiro para ordenar índices de tuplas.[1]
Definição |
Um índice múltiplo n-dimensional é uma n-tupla da forma
- α=(α1,α2,…,αn){displaystyle alpha =(alpha _{1},alpha _{2},ldots ,alpha _{n})}
de inteiros não negativos. Para índices múltiplos α,β∈N0n{displaystyle alpha ,beta in mathbb {N} _{0}^{n}}
- Soma e diferença
- α±β=(α1±β1,α2±β2,…,αn±βn){displaystyle alpha pm beta =(alpha _{1}pm beta _{1},,alpha _{2}pm beta _{2},ldots ,,alpha _{n}pm beta _{n})}
- α±β=(α1±β1,α2±β2,…,αn±βn){displaystyle alpha pm beta =(alpha _{1}pm beta _{1},,alpha _{2}pm beta _{2},ldots ,,alpha _{n}pm beta _{n})}
- Conjunto parcialmente ordenado
- α≤β⇔αi≤βi∀i∈{1,…,n}{displaystyle alpha leq beta quad Leftrightarrow quad alpha _{i}leq beta _{i}quad forall ,iin {1,ldots ,n}}
- α≤β⇔αi≤βi∀i∈{1,…,n}{displaystyle alpha leq beta quad Leftrightarrow quad alpha _{i}leq beta _{i}quad forall ,iin {1,ldots ,n}}
- Soma de componentes
- |α|=α1+α2+⋯+αn{displaystyle |alpha |=alpha _{1}+alpha _{2}+cdots +alpha _{n}}
- |α|=α1+α2+⋯+αn{displaystyle |alpha |=alpha _{1}+alpha _{2}+cdots +alpha _{n}}
- Fatorial
- α!=α1!⋅α2!⋯αn!{displaystyle alpha !=alpha _{1}!cdot alpha _{2}!cdots alpha _{n}!}
- α!=α1!⋅α2!⋯αn!{displaystyle alpha !=alpha _{1}!cdot alpha _{2}!cdots alpha _{n}!}
- Coeficiente binomial
- (αβ)=(α1β1)(α2β2)⋯(αnβn)=α!β!(α−β)!{displaystyle {binom {alpha }{beta }}={binom {alpha _{1}}{beta _{1}}}{binom {alpha _{2}}{beta _{2}}}cdots {binom {alpha _{n}}{beta _{n}}}={frac {alpha !}{beta !(alpha -beta )!}}}
- (αβ)=(α1β1)(α2β2)⋯(αnβn)=α!β!(α−β)!{displaystyle {binom {alpha }{beta }}={binom {alpha _{1}}{beta _{1}}}{binom {alpha _{2}}{beta _{2}}}cdots {binom {alpha _{n}}{beta _{n}}}={frac {alpha !}{beta !(alpha -beta )!}}}
- Teorema multinomial
(kα)=k!α1!α2!⋯αn!=k!α!{displaystyle {binom {k}{alpha }}={frac {k!}{alpha _{1}!alpha _{2}!cdots alpha _{n}!}}={frac {k!}{alpha !}}}onde |α|=k{displaystyle |alpha |=k,}
- Exponenciação
- xα=x1α1x2α2…xnαn{displaystyle x^{alpha }=x_{1}^{alpha _{1}}x_{2}^{alpha _{2}}ldots x_{n}^{alpha _{n}}}
- xα=x1α1x2α2…xnαn{displaystyle x^{alpha }=x_{1}^{alpha _{1}}x_{2}^{alpha _{2}}ldots x_{n}^{alpha _{n}}}
- Derivada parcial
∂α=∂1α1∂2α2…∂nαn{displaystyle partial ^{alpha }=partial _{1}^{alpha _{1}}partial _{2}^{alpha _{2}}ldots partial _{n}^{alpha _{n}}}onde ∂iαi:=∂αi/∂xiαi{displaystyle partial _{i}^{alpha _{i}}:=partial ^{alpha _{i}}/partial x_{i}^{alpha _{i}}}
Referências
↑ Xavier, Saint Raymond (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9
Ligações externas |
- Este artigo incorpora material de Índice múltiplo do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.
