Equação diferencial parcial
Um equação diferencial parcial ou equação de derivadas parciais (EDP) é uma equação envolvendo várias funções incógnita de várias variáveis independentes e dependente de suas derivadas. Estas equações surgem naturalmente em problemas de física matemática, física e engenharia. O estudo das equações diferenciais parciais é uma das áreas com mais intensa pesquisa em matemática, despertando interesse também em contextos de matemática pura.
EDPs descrevem fenômenos físicos cujo comportamento depende da posição, tais como eletrostática, eletrodinâmica, eletromagnetismo, dinâmica dos fluidos, difusão do calor, propagação de ondas. Muitas vezes, fenômenos físicos totalmente distintos podem ser modelados por EDPs idênticas.
Índice
1 Exemplos
2 Notação
3 Classificações
3.1 Quanto à ordem
3.2 Quanto à linearidade
3.3 Quanto à homogeneidade
4 Classificação de EDP's de 2ª ordem
5 Equações da física
5.1 Equação de Poisson
5.2 Equação do calor
5.3 Equação da onda
5.4 Equação de Laplace
5.5 Equação de Burgers
6 Resolução de equações simples
7 Método da transformada de Laplace
8 Referências
9 Ver também
10 Ligações externas
Exemplos |
Um problema simples de EDP consiste em buscar uma solução suave u(x,y):[0,1]×[0,1]→R{displaystyle u(x,y):[0,1]times [0,1]rightarrow mathbb {R} }![{displaystyle u(x,y):[0,1]times [0,1]rightarrow mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52e67522585a40158a47c19ca18b8af9308f465)
∂u∂x=1 em (0,1)×(0,1){displaystyle {frac {partial u}{partial x}}=1{hbox{ em }}(0,1)times (0,1)}
∂u∂y=0 em (0,1)×(0,1){displaystyle {frac {partial u}{partial y}}=0{hbox{ em }}(0,1)times (0,1)}
u(x,y)=1 em {x=0}×[0,1]{displaystyle u(x,y)=1{hbox{ em }}{x=0}times [0,1]}
![{displaystyle u(x,y)=1{hbox{ em }}{x=0}times [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bff761e043fe497fe0a9ce98f78405786de65a3)
que admite solução u(x,y)=x+1{displaystyle u(x,y)=x+1}
O próximo exemplo é um caso particular da equação do transporte:
∂u∂t+v(t)∂u∂x=0,t>0{displaystyle {frac {partial u}{partial t}}+v(t){frac {partial u}{partial x}}=0,t>0}
u(x,t)=f(x), t=0{displaystyle u(x,t)=f(x),~t=0}
onde f(x){displaystyle f(x)}
v(t){displaystyle v(t)}
A solução desta equação é dada por:
u(x,t)=f(x+∫0tv(τ)dτ),t>0{displaystyle u(x,t)=fleft(x+int _{0}^{t}v(tau )dtau right),t>0}
Notação |
Existem muitas maneiras de expressar as EDPs, não sendo raro a mesma notação ter significados diferentes para autores diferentes.
Notações bastante difundidas são para a derivada temporal são:
∂u∂t=∂tu=ut=u′{displaystyle {frac {partial u}{partial t}}=partial _{t}u=u_{t}=u'}
Mais prolixas são as notações para as derivadas espaciais.
Se u:Rn→R{displaystyle u:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }
∇u=(∂u∂x1,…,∂u∂xn){displaystyle nabla u=left({frac {partial u}{partial x_{1}}},ldots ,{frac {partial u}{partial x_{n}}}right)}
∇2u=△u=∑i=1n∂2u∂xi2{displaystyle nabla ^{2}u=triangle u=sum _{i=1}^{n}{frac {partial ^{2}u}{partial x_{i}^{2}}}}
Assim, a equação Tt+v⋅(∇T)=△T{displaystyle T_{t}+mathbf {v} cdot left(nabla Tright)=triangle T}
v{displaystyle mathbf {v} }
∂T∂t+∑i=1nvi∂T∂xi=∑i=1n∂2T∂xi2{displaystyle {frac {partial T}{partial t}}+sum _{i=1}^{n}v_{i}{frac {partial T}{partial x_{i}}}=sum _{i=1}^{n}{frac {partial ^{2}T}{partial x_{i}^{2}}}}
Em problemas envolvendo fluxo de fluidos, é constume definir a derivada material:
DuDt=∂u∂t+v⋅(∇u){displaystyle {frac {Du}{Dt}}={frac {partial u}{partial t}}+mathbf {v} cdot (nabla u)}
v{displaystyle mathbf {v} }
Classificações |
Quanto à ordem |
A ordem de uma equação diferencial parcial será dada pela ordem da mais alta derivada encontrada na equação:
∂2u∂x2+5∂u∂y+3u=0{displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}+5{frac {partial u}{partial y}}+3u=0}
EDP de segunda ordem
Quanto à linearidade |
Uma EDP linear de 2ª ordem, com 2 variáveis independentes, tem a forma:
a(x,y)∂2u∂x2+2b(x,y)∂2u∂x∂y+c(x,y)∂2u∂y2+d(x,y)∂u∂x+e(x,y)∂u∂y+f(x,y)u=δ(x,y)(1){displaystyle a(x,y){frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}+2b(x,y){frac {partial ^{2}u}{partial xpartial y}}+c(x,y){frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}+d(x,y){frac {partial u}{partial x}}+e(x,y){frac {partial u}{partial y}}+f(x,y)u=delta (x,y)quad quad (1)}
- Exemplos
∂u∂t−a∂2u∂x2=0{displaystyle {partial u over partial t}-a{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}=0}
EDP linear (Equação da difusão linear)
∂u∂t+a∂u∂x=0{displaystyle {frac {partial u}{partial t}}+a{frac {partial u}{partial x}}=0}
EDP linear (Equação da convecção linear)
(1−u)∂u∂x+2u=ey{displaystyle (1-u){frac {partial u}{partial x}}+2u=e^{y}}
EDP não linear devido ao termo não linear (1-u) dependente de u
∂u∂x+cosu=0{displaystyle {frac {partial u}{partial x}}+cos {u}=0}
EDP nao linear devido à função não linear cos(u)
Quanto à homogeneidade |
Se na equação (1), δ(x,y)=0{displaystyle delta (x,y)=0}
Classificação de EDP's de 2ª ordem |
As equações diferenciais parciais (EDP) de 2ª ordem podem ser classificadas em três tipos: hiperbólicas, parabólicas e elípticas.
Se a solução de um problema for descrito pela variável u = u(x,y), a EDP que expressa a relação entre u e as variáveis independentes x e y pode ser escrita, genericamente, como[1]:
auxx+2buxy+cuyy+dux+euy+fu=g{displaystyle au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_{x}+eu_{y}+fu=g}
na qual a, b, c, d, f e g são constantes ou funções das variáveis independentes x e y. Os coeficientes a, b e c são tais que:
a2+b2+c2≠0{displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}neq 0}
Se os coeficientes a, b e c forem constantes, pode-se classificar as EDPs lineares de forma análoga às curvas cônicas tridimensionais, através das seguintes relações:
- EDPs hiperbólicas: b2−4ac>0{displaystyle b^{2}-4ac>0}
, raízes reais e distintas.
- EDPs parabólicas: b2−4ac=0{displaystyle b^{2}-4ac=0}
, raízes reais e idênticas.
- EDPs elípticas: b2−4ac<0{displaystyle b^{2}-4ac<0}
, raízes conjugadas complexas.
A classificação das EDPs nos três grupos representativos tem importância na sua análise teórica, na descrição de métodos numéricos e nas aplicações. A tabela a seguir mostra as principais EDP's de 2ª ordem e suas respectivas classificações:
| Nome | Classificação | Equação |
|---|---|---|
| Equação de Laplace | elíptica | uxx+uyy+uzz=0{displaystyle u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0}  |
| Equação de Poisson | elíptica | uxx+uyy+uzz=c{displaystyle u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=c}  |
| Equação de Fourier | parabólica | α(uxx+uyy+uzz)−ut=0{displaystyle alpha (u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})-u_{t}=0}  |
| Equação da onda | hiperbólica | c2(uxx+uyy+uzz)−utt=0{displaystyle c^{2}(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})-u_{tt}=0}  |
Equações da física |
Equação de Poisson |
A equação de Poisson descreve o potencial elétrico em eletrostática. Também modela estados estacionários (sem variação no tempo) da equação do calor.
- Δu=f(x){displaystyle Delta u=f(x)}
Equação do calor |
Se T(t,x){displaystyle T(t,x)}
∂T∂t=a∂2T∂x2{displaystyle {partial T over partial t}=a{partial ^{2}{T} over partial {x^{2}}}}
onde a{displaystyle a}
Equação da onda |
Uma função de onda, em duas dimensões, é uma função f(x,y,t){displaystyle f(x,y,t)}
∂2f∂t2=v2(∂2f∂x2+∂2f∂y2){displaystyle {partial ^{2}{f} over partial {t^{2}}}=v^{2}{Bigg (}{partial ^{2}{f} over partial {x^{2}}}+{partial ^{2}{f} over partial {y^{2}}}{Bigg )}}
onde v{displaystyle v}
Equação de Laplace |
O potencial eletrostático V(x,y,z){displaystyle V(x,y,z)}
∂2V∂x2+∂2V∂y2+∂2V∂z2=0{displaystyle {partial ^{2}{V} over partial {x^{2}}}+{partial ^{2}{V} over partial {y^{2}}}+{partial ^{2}{V} over partial {z^{2}}}=0}
Os exemplos anteriores correspondem todos a equações lineares, nas quais uma
combinação linear de soluções é também solução.
Equação de Burgers |
A equação de Burgers modela processos convectivos unidimensionais:
ut+∂∂x(f(x)u)2=f(x,t){displaystyle u_{t}+{frac {partial }{partial x}}left(f(x)uright)^{2}=f(x,t)}
Resolução de equações simples |
As equações de derivadas parciais em que aparece uma única derivada, podem ser
integradas facilmente. Consideremos por exemplo a equação
∂2v∂x2=3y{displaystyle {frac {partial ^{2}{v}}{partial {x^{2}}}}=3y}
como a segunda derivada em ordem a x{displaystyle x}
parcial em ordem a x{displaystyle x}
∂v∂x=∫3ydx(yconstante)=3xy+f(y){displaystyle {begin{aligned}{partial {v} over partial x}&=int 3ydxqquad (y;{text{constante}})\&=3xy+f(y)end{aligned}}}
onde f(y){displaystyle f(y)}
x{displaystyle x}
Integrando uma segunda vez, com y{displaystyle y}
v=32yx2+xf(y)+g(y){displaystyle v={frac {3}{2}}yx^{2}+xf(y)+g(y)}
Esta solução é bastante geral, pois depende de duas funções arbitrárias f{displaystyle f}
g{displaystyle g}
fronteira. As condições fronteira são tão importantes quanto a equação
diferencial para determinar a forma da solução, já que com diferentes
condições fronteira é possível obter soluções muito diversas.
Método da transformada de Laplace |
As equações de derivadas parciais lineares com condições iniciais, podem ser
resolvidas por meio da transformada de Laplace. As condições iniciais (na
variável t{displaystyle t}
v(x,0)=f(x)∂v∂t(x,0)=g(x){displaystyle {begin{aligned}v(x,0)&=&f(x)\{partial v over partial t}(x,0)&=&g(x)end{aligned}}}
onde f{displaystyle f}
v¯(x,s)=∫0∞e−stv(x,t)dx{displaystyle {overline {v}}(x,s)=int _{0}^{infty }e^{-st}v(x,t)dx}
As duas condições fronteira permitem calcular as transformadas das duas
primeiras derivadas, usando a propriedade da transformada da derivada; o
resultado obtido é
L{∂v∂t}=sv¯(x,s)−f(x)L{∂2v∂t}=s2v¯(x,s)−sf(x)−g(x){displaystyle {begin{aligned}&{mathcal {L}}{Big {}{partial v over partial t}{Big }}=s{overline {v}}(x,s)-f(x)\&{mathcal {L}}{Big {}{partial ^{2}{v} over partial {t}}{Big }}=s^{2}{overline {v}}(x,s)-sf(x)-g(x)end{aligned}}}
Como x{displaystyle x}
a transformada de Laplace são independentes; por exemplo,
L{∂v∂x}=∂∂xL{v(x,t)}=dv¯dxL{∂2v∂x2}L{v(x,t)}=dv¯dx{displaystyle {begin{aligned}&{mathcal {L}}{Big {}{partial v over partial x}{Big }}={partial over partial x}{mathcal {L}}{big {}v(x,t){big }}={d{overline {v}} over dx}\&{mathcal {L}}{Big {}{partial ^{2}{v} over partial x^{2}}{Big }}{mathcal {L}}{big {}v(x,t){big }}={d{overline {v}} over dx}end{aligned}}}
Referências
↑ [1]
↑ [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 22 julho. 2013.
Ver também |
- Equação diferencial linear
- Equação de Bernoulli
Ligações externas |
Equações Diferenciais e Equações de Diferenças, Jaime E. Villate (em português)
