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Em matemática, uma função é contínua quando, intuitivamente, as pequenas variações nos objectos correspondem a pequenas variações nas imagens. Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se que a função é descontínua, ou que se trata de um ponto de descontinuidade.

Definições de continuidade |

Em espaço topológico |

Diz-se que uma função f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y} entre espaços topológicos é contínua se a imagem recíproca de qualquer aberto de Y{displaystyle Y} é um aberto de X.{displaystyle X.}

Exemplos |

Esta função é descontínua nos inteiros.

Estes exemplos usam propriedades da imagem recíproca, ou seja, dada uma função f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y} e um conjunto A⊂Y,{displaystyle Asubset Y,} o conjunto f−1(A)={x∈X|f(x)∈A}.{displaystyle f^{-1}(A)={xin X|f(x)in A}.}

• Seja X{displaystyle X} um conjunto com a topologia discreta τX=P(X),{displaystyle tau _{X}=P(X),} Y{displaystyle Y} com qualquer topologia, então qualquer função f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y} é contínua.

Basta ver que, ∀A∈Y{displaystyle forall Ain Y} aberto temos que, f−1(A)∈P(X),{displaystyle f^{-1}(A)in P(X),} e portanto é aberto, o que mostra que f{displaystyle f} é uma função contínua.

• Seja Y{displaystyle Y} um conjunto com a topologia grosseira τY={∅,Y},{displaystyle tau _{Y}={varnothing ,Y},} X{displaystyle X} com qualquer topologia, então qualquer função f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y} é contínua.

De fato, pois, como os dois únicos abertos de τY{displaystyle tau _{Y}} são ∅{displaystyle varnothing } e Y,{displaystyle Y,} basta verificar se suas imagens inversas são abertos. Mas f−1(∅)=∅{displaystyle f^{-1}(varnothing )=varnothing } e f−1(Y)=X,{displaystyle f^{-1}(Y)=X,} e, por definição, ∅{displaystyle varnothing } e X{displaystyle X} são abertos em qualquer topologia em X.{displaystyle X.}

• Sejam f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y} e g:Y→Z{displaystyle g:Yrightarrow Z} funções contínuas. Então g∘f:X→Z{displaystyle gcirc f:Xrightarrow Z} também é uma função contínua.

Fato pois: qualquer que seja A⊂Z{displaystyle Asubset Z} aberto, pela continuidade de g,{displaystyle g,} temos que g−1(A){displaystyle g^{-1}(A)} é um aberto em Y.{displaystyle Y.} Portanto, pela continuidade de f,{displaystyle f,} f−1(g−1(A)){displaystyle f^{-1}(g^{-1}(A))} é um aberto em X.{displaystyle X.} Mas f−1(g−1(A))=(g∘f)−1(A),{displaystyle f^{-1}(g^{-1}(A))=(gcirc f)^{-1}(A),} o que prova a continuidade de g∘f.{displaystyle gcirc f.}

Em espaço métrico |

Diz-se que uma função f{displaystyle f} é contínua no ponto x=a{displaystyle x=a} se a{displaystyle a} é um ponto isolado do domínio ou, caso seja ponto de acumulação de X,{displaystyle X,} se existir o limite de f(x){displaystyle f(x)} com x{displaystyle x} tendendo a a{displaystyle a} e esse limite for igual a f(a).{displaystyle f(a).}

OBS.: Não faz sentido calcular limites em pontos que não são de acumulação. Caso insistíssemos teríamos que qualquer valor seria limite de f(x){displaystyle f(x)} com x{displaystyle x} tendendo a a{displaystyle a}

Em análise real, essa definição é escrita na forma tradicional Epsilon-Delta, ou seja, diz-se que uma função f{displaystyle f} é contínua num ponto a{displaystyle a} do seu domínio se, dado ϵ>0,∃δ>0{displaystyle epsilon >0,exists delta >0} tal que ∀x∈X,a−δ<x<a+δ{displaystyle forall xin X,a-delta <x<a+delta } então f(a)−ϵ<f(x)<f(a)+ϵ.{displaystyle f(a)-epsilon <f(x)<f(a)+epsilon .}

Esta definição, com uma pequena adaptação, pode ser usada para uma função de um espaço métrico E{displaystyle E} em outro espaço métrico F:{displaystyle F:} a função f{displaystyle f} é contínua em a∈E{displaystyle ain E} quando dado ϵ>0,∃δ>0{displaystyle epsilon >0,exists delta >0} tal que ∀x∈E,dE(x,a)<δ→dF(f(x),f(a))<ϵ.{displaystyle forall xin E,d_{E}(x,a)<delta rightarrow d_{F}(f(x),f(a))<epsilon .}

Em termos de bolas, dados dois espaços métricos M,N{displaystyle M,N} dizemos que a aplicação f:M⟶N{displaystyle f:Mlongrightarrow N} é contínua em a∈M{displaystyle ain M} se, dada uma bola aberta B′=B(f(a),ϵ){displaystyle B'=B(f(a),epsilon )} de centro f(a){displaystyle f(a)} e raio ϵ{displaystyle epsilon } pode-se encontrar uma bola B=B(a,δ),{displaystyle B=B(a,delta ),} de centro a{displaystyle a} e raio δ{displaystyle delta } tal que f(B)⊂B′.{displaystyle f(B)subset B'.} ^[1]

Diz-se que f é contínua em seu domínio, ou simplesmente contínua, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.

Exemplo |

• Seja f:X⟶Y,{displaystyle f:Xlongrightarrow Y,} X{displaystyle X} e Y{displaystyle Y} espaços métricos não vazios. Se ∀x,y∈X{displaystyle forall x,yin X} tivermos que d(f(x),f(y))≤c⋅d(x,y),{displaystyle d(f(x),f(y))leq ccdot d(x,y),} então a aplicação f{displaystyle f} é contínua e a constante c{displaystyle c} é chamada de constante de Lipschitz. Na reta Real toda aplicação Lipschitiziana é uniformemente contínua.

Equivalência das definições |

Se E{displaystyle E} e F{displaystyle F} são espaços métricos, e τE e τF{displaystyle tau _{E}{mbox{ e }}tau _{F}} as topologias geradas pelas métricas em E{displaystyle E} e F,{displaystyle F,} então uma função f:E→F{displaystyle f:Erightarrow F} é contínua pela definição topológica se, e somente se, ela é contínua pela definição métrica.

Em termos de limites |

Uma função f(x){displaystyle f(x)} é dita ser contínua em um ponto a{displaystyle a} de seu domínio se:

limx→af(x)=f(a){displaystyle lim _{xto a}f(x)=f(a)}

Função sequencialmente contínua |

Uma função f:E→F,{displaystyle f:Erightarrow F,} em que E{displaystyle E} e F{displaystyle F} são espaços topológicos, é sequencialmente contínua em um ponto a∈E{displaystyle ain E} quanto ela comuta com o limite de sequências, ou seja, quando para toda sequência xi∈E{displaystyle x_{i}in E} cujo limite (em E{displaystyle E}) seja a,{displaystyle a,} temos que o limite (em F{displaystyle F}) de f(xi){displaystyle f(x_{i})} é f(a).{displaystyle f(a).} Uma forma elegante de escrever isso é limi→∞f(xi)=f(limi→∞xi).{displaystyle lim _{irightarrow infty }f(x_{i})=f(lim _{irightarrow infty }x_{i}).}

Propriedades |

• Função Composta: Se f:E→F{displaystyle f:Eto F} e g:F→G{displaystyle g:Fto G} são funções contínuas, então é imediato (pela definição topológica) que a função composta g∘f:E→G{displaystyle gcirc f:Eto G} é contínua.


• Se f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y} é uma bijeção contínua de um espaço topológico compacto X{displaystyle X} em um espaço topológico de Hausdorff Y,{displaystyle Y,} então f{displaystyle f} é um homeomorfismo.


• O conjunto dos zeros de uma aplicação contínua entre um espaço topológico X{displaystyle X} e a reta real R,{displaystyle mathbb {R} ,} com a topologia usual, é um conjunto fechado. Em particular, o conjunto das matrizes singulares é fechado em Rn×n,{displaystyle mathbb {R} ^{ntimes n},} pois o determinante define uma aplicação contínua nesse espaço.


• Sejam X{displaystyle X} e Y{displaystyle Y} dois espaços topológicos, U⊂X{displaystyle Usubset X} e f:X→Y{displaystyle f:Xrightarrow Y} uma aplicação contínua. Então f{displaystyle f} restrita a U{displaystyle U} ainda é uma aplicação contínua.
  
  

Referências |

• 
  Munkres, J. (1966). Elementary Differential Topology, edição revisada. Col: Annals of Mathematics Studies 54. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 0-691-09093-9 
  


• 
  Lima, Elon Lages (2013). Análise Real - Funções de uma variável. Col: Coleção Matemática Universitária. 1 12ª ed. [S.l.]: IMPA. 198 páginas. ISBN 978-85-244-0048-3 
  

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