Ideal principal

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Na teoria dos anéis, um ramo da álgebra abstrata, um ideal principal é um ideal que é gerado por um elemento.[1]


No caso mais geral de um anel não-comutativo R, temos:



  • um ideal principal à esquerda é um ideal Ra=ra|r∈R{displaystyle Ra={ra|rin R},}{displaystyle Ra={ra|rin R},}

  • um ideal principal à direita é um ideal aR=ar|r∈R{displaystyle aR={ar|rin R},}{displaystyle aR={ar|rin R},}

  • um ideal principal bilateral é um ideal I=e1ad1+e2ad2+…+enadn|e1,d1,e2,d2,…,en,dn∈R{displaystyle I={e_{1}ad_{1}+e_{2}ad_{2}+ldots +e_{n}ad_{n}|e_{1},d_{1},e_{2},d_{2},ldots ,e_{n},d_{n}in R},}{displaystyle I={e_{1}ad_{1}+e_{2}ad_{2}+ldots +e_{n}ad_{n}|e_{1},d_{1},e_{2},d_{2},ldots ,e_{n},d_{n}in R},}


No caso comutativo, um ideal principal é um conjunto da forma aR=ar|r∈R{displaystyle aR={ar|rin R},}{displaystyle aR={ar|rin R},}


Em Z{displaystyle mathbb {Z} ,}{mathbb  {Z}},, é fácil mostrar que todo ideal é um ideal principal, porém esta propriedade não é válida em geral. Um contra-exemplo simples é o ideal gerado por {2, x} no domínio de integridade Z[x]{displaystyle mathbb {Z} [x],}{displaystyle mathbb {Z} [x],}, dos polinômios de coeficientes inteiros.



Referências




  1. Rings, no site do Department of Mathematical Sciences da Northern Illinois University, baseado no texto de Beachy/Blair, Abstract Algebra, 2nd Ed., © 1996








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