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Gráfico de uma função polinomial

Em matemática, função polinomial é uma função P{displaystyle P} que pode ser expressa da forma:^[1][2][3][4]

P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x1+a0x0={displaystyle Pleft(xright)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+dots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}=} ∑i=0naixi,{displaystyle sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},}

em que n{displaystyle n} é um número inteiro não negativo e os números a0,a1,...an−1,an{displaystyle a_{0},a_{1},...a_{n-1},a_{n}} são constantes, chamadas de coeficientes do polinômio.

Grau de uma função polinomial |

Ver artigo principal: Função homogênea

As funções polinomiais podem ser classificadas quanto a seu grau. O grau de uma função polinomial corresponde ao valor do maior expoente da variável do polinômio, ou seja, é o valor de n{displaystyle n} da função P(x)=∑i=0naixi.{displaystyle Pleft(xright)=sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.} ^[2][4]

Sejam f(x){displaystyle f(x)} e g(x){displaystyle g(x)} polinômios de graus quaisquer. Sempre valem as seguintes leis:^{[Nota 1]}

• O grau de f(x).g(x){displaystyle f(x).g(x)} é a soma do grau de f(x){displaystyle f(x)} e o grau de g(x);{displaystyle g(x);}
  


• Se f(x){displaystyle f(x)} e g(x){displaystyle g(x)} têm grau diferente, então o grau de f(x)+g(x){displaystyle f(x)+g(x)} é igual ao maior dos dois; e


• Se f(x){displaystyle f(x)} e g(x){displaystyle g(x)} têm o mesmo grau, então o grau de f(x)+g(x){displaystyle f(x)+g(x)} é menor ou igual ao grau de f(x).{displaystyle f(x).}
  

Funções polinomiais de grau um |

Ver artigo principal: Função polinomial de primeiro grau

Gráfico de uma função do 1º grau^[5]

Aqui, n=1.{displaystyle n=1.} Por isso, os polinômios de grau 1 têm a forma P(x)=a0x0+a1x1=a0+a1x.{displaystyle Pleft(xright)=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}=a_{0}+a_{1}x.}

As funções deste tipo são chamadas de função afim. Se a0=0,{displaystyle a_{0}=0,} chamamos esta função afim de linear.^[2][4]

Por exemplo,
f(x)=2x+1{displaystyle f(x)=2x+1} é uma função polinomial de grau um composta de dois monômios.

Funções polinomiais de grau dois |

Ver artigo principal: Função quadrática

Gráfico de uma função do 2º grau^[6]

Uma função quadrática é definida como uma função que apresenta o expoente 2 como maior expoente das variáveis. O seu gráfico é constituído por uma parábola. É expressa por:^[2][4]

f(x)=ax2+bx+c.{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c.}

Por exemplo,

y=4x2+2x+1→{displaystyle y=4x^{2}+2x+1rightarrow } o grau é 2 e é composto de três monômios.

Funções polinomiais de outros graus |

• 
  f(x)=2→{displaystyle f(x)=2rightarrow } não há variável, mas pode-se considerar que o grau é zero. Esta é uma função constante.^[2][4]
  


• 
  f(x)=0→{displaystyle f(x)=0rightarrow } neste caso, é conveniente dizer que não há grau, ou que o grau é negativo (menos infinito).


• 
  f(x)=(1/2)x4−7x3+(4/5)→{displaystyle f(x)=(1/2)x^{4}-7x^{3}+(4/5)rightarrow } é uma função polinomial de grau 4. Neste caso: a0=4/5,a1=0,a2=0,a3=−7,a4=1/2.{displaystyle a_{0}=4/5,a_{1}=0,a_{2}=0,a_{3}=-7,a_{4}=1/2.}
  

Função constante |

Gráfico de uma função constante

Define-se função constante por :^[2][4]

Dado um número k,{displaystyle k,}

f(x)=k,∀x∈Dom(f){displaystyle f(x)=k,forall xin Dom(f)}

Im(f)={k}{displaystyle Im(f)={k}}

Ou seja, o valor da imagem será sempre o mesmo, independente do valor do x.{displaystyle x.}

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x.{displaystyle x.};

Polinômios especiais |

Ver também |

Notas e referências

Notas

Referências

Bibliografia |

1. Universidade Estadual Paulista, Revista de matemática e estatística , Volumes 6-8 Centro de Publicações Culturais e Científicas, Universidade Estadual Paulista, 1988, OCLC 14346536
   


2. Marcia Lourenço, Ana Paula Ern, Matemática Elementar: Lembrando e Exercitando - 2ª edição Editora Feevale ISBN 8-577-17165-5
   


3. N.Z. Shor, Nondifferentiable Optimization and Polynomial Problems , Springer Science & Business Media, 1998 ISBN 0-792-34997-0 (em inglês)


4. Charles C. Carico, Complex Numbers; Polynomial Functions , Wadsworth Publishing Company, 1974 ISBN 0-534-00329-X (em inglês)


5. Miguel F. Anjos, Jean B. Lasserre, Handbook on Semidefinite, Conic and Polynomial Optimization , Springer Science & Business Media, 2011 ISBN 1-461-40769-9 (em inglês)


6. Ian Grant Macdonald, Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials , American Mathematical Soc. ISBN 0-821-88271-6 (em inglês)


7. Paul A. Fuhrmann, A Polynomial Approach to Linear Algebra , Springer Science & Business Media, 2011 ISBN 1-461-40338-3 (em inglês)


8. Minggen Lu, Analysis of Panel Count Data Using Monotone Polynomial Splines , ProQuest, 2007 ISBN 0-549-23452-7 (em inglês)


9. G. E. Collins, Computer Algebra of Polynomials and Rational Functions , Mathematical Association of America (Vol. 80, No. 7 (Aug. - Sep., 1973), pp. 725–755) doi:10.2307/2318161
   


10. Eugene H. Studier, Richard W. Dapson, Roger E. Bigelow, Analysis of polynomial functions for determining maximum or minimum conditions in biological systems , Pergamon, 1975 OCLC 755240069
    


11. David R. Finston, The algebra of polynomial functions on a non-associative algebra , University of California, San Diego, 1983 doi:10.2307/2000356
    

Ligações externas |

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