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Esboço do gráfico de uma função exponencial.

Chama-se função exponencial a função f:R→R+∗{textstyle f:mathbb {R} to mathbb {R} _{+}^{*}} tal que f(x)=ax{textstyle f(x)=a^{x}} em que a∈R{textstyle ain mathbb {R} }, 0<a≠1{textstyle 0<aneq 1}. O número a{displaystyle a} é chamado de base da função. A função exponencial f(x)=ax{textstyle f(x)=a^{x}} pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a>1{textstyle a>1}, a função é crescente. Caso 0<a<1{textstyle 0<a<1} a função é decrescente.^[1][2]

Definição formal |

A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência aⁿ indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é^[3],

an= a×⋯×a⏟n,{displaystyle {{a^{n}=} atop { }}{{underbrace {atimes cdots times a} } atop n},}

Esta definição implica as seguintes propriedades:

• an+m=anam;{displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m};}


• anm=(an)m.{displaystyle a^{nm}=left(a^{n}right)^{m}.}

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:

• a0=1,∀a≠0;{displaystyle a^{0}=1,quad forall aneq 0;}


• a−n=1an,∀a≠0,  n∈N;{displaystyle a^{-n}={frac {1}{a^{n}}},quad forall aneq 0,~~nin mathbb {N} ;}


• a1n=an,∀a>0,  n∈N;{displaystyle a^{frac {1}{n}}={sqrt[{n}]{a}},quad forall a>0,~~nin mathbb {N} ;}


• anm=anm,∀a>0,  n∈Z  m∈N.{displaystyle a^{frac {n}{m}}={sqrt[{m}]{a^{n}}},quad forall a>0,~~nin mathbb {Z} ~~min mathbb {N} .}

A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:^[4]

ax=supnm<xanm,a>1;{displaystyle a^{x}=sup _{{frac {n}{m}}<x}a^{frac {n}{m}},a>1;}

ax=infnm<xanm,a<1.{displaystyle a^{x}=inf _{{frac {n}{m}}<x}a^{frac {n}{m}},a<1.}

De fato, a função y = a^x é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:

• f(x+y)=f(x)f(y);{displaystyle f(x+y)=f(x)f(y);}


• f(1)=a.{displaystyle f(1)=a.}

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:^[4]

• ax=eln⁡(a)x.{displaystyle a^{x}=e^{ln(a)x}.}

A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:

• a1=a{displaystyle a^{1}=a}


• ax+y=axay,  ∀x,y∈R{displaystyle a^{x+y}=a^{x}a^{y},~~forall x,yin mathbb {R} }

A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:

1. a0=a1+0a1=a1a1=1,{displaystyle a^{0}={frac {a^{1+0}}{a^{1}}}={frac {a^{1}}{a^{1}}}=1,}


2. a−x=a(−x)+xax=a0ax=1ax,  ∀x∈R{displaystyle a^{-x}={frac {a^{(-x)+x}}{a^{x}}}={frac {a^{0}}{a^{x}}}={frac {1}{a^{x}}},~~forall xin mathbb {R} }

Propriedades da função exponencial |

Função exponencial crescente.

Função exponencial decrescente.

A função exponencial de base a{displaystyle a}, f(x)=ax{displaystyle f(x)=a^{x}}, tem as seguintes propriedades:^[1][2]

1. 
   f(x)>0{displaystyle f(x)>0} para todo x∈R{displaystyle xin mathbb {R} };


2. 
   f(x){displaystyle f(x)} é função crescente se, e somente se, a>1{displaystyle a>1};


3. 
   f(x){displaystyle f(x)} é função decrescente se, e somente se, 0<a<1{displaystyle 0<a<1};


4. 
   f(x){displaystyle f(x)} é injetiva;


5. 
   f(x){displaystyle f(x)} é ilimitada superiormente;


6. 
   f(x){displaystyle f(x)} é contínua;


7. 
   f(x){displaystyle f(x)} é sobrejetiva;


8. 
   f(x){displaystyle f(x)} é bijetiva, isto é, possui uma função inversa, o logaritmo, denominada loga⁡(x){displaystyle log _{a}(x)}.

Demonstrações das propriedades |

Propriedade 1

Mostraremos, primeiro, que f(x)≠0{displaystyle f(x)neq 0} para todo x∈R{displaystyle xin mathbb {R} }. Com efeito, notamos que f(0)=1≠0{displaystyle f(0)=1neq 0}. Suponhamos, por contradição, que f(x)=ax=0{displaystyle f(x)=a^{x}=0} para algum x≠0{displaystyle xneq 0}. Mas, daí temos 0=axa−x+1=a>0{displaystyle 0=a^{x}a^{-x+1}=a>0}, uma contradição. Concluímos que f(x)≠0{displaystyle f(x)neq 0} para todo x∈R{displaystyle xin mathbb {R} }.

Como consequência f(x)>0{displaystyle f(x)>0} para todo x∈R{displaystyle xin mathbb {R} }, uma vez que f(0)=a0=1{displaystyle f(0)=a^{0}=1}.

Propriedade 2

Sejam x,y∈R{displaystyle x,yin mathbb {R} }. Suponhamos, sem perda de generalidade, que x<y{displaystyle x<y}. Tomamos, então, p>0∈R{displaystyle p>0in mathbb {R} } tal que y=x+p{displaystyle y=x+p}. Segue que ay−ax=ax+p−ax=ax(ap−1){displaystyle a^{y}-a^{x}=a^{x+p}-a^{x}=a^{x}(a^{p}-1)}. Pela propriedade 1, temos ax>0{displaystyle a^{x}>0}. Logo, ax<ay{displaystyle a^{x}<a^{y}} se, e somente se, ap>1{displaystyle a^{p}>1}. Como p>0{displaystyle p>0}, ap>1{displaystyle a^{p}>1} se, e somente se, a>1{displaystyle a>1}. Concluímos que, f(x)<f(y){displaystyle f(x)<f(y)} se, e somente se, a>1{displaystyle a>1}.

Propriedade 3

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.

Propriedade 4

Consequência imediata das propriedades 2 e 3.

Propriedade 5

Seja f(x)=ax{displaystyle f(x)=a^{x}} com a>1{displaystyle a>1}. Tomamos d∈R{displaystyle din mathbb {R} } tal que a=1+d{displaystyle a=1+d}. Assim, pela desigualdade de Bernoulli, temos an>1+nd{displaystyle a^{n}>1+nd}. Logo, dado qualquer L>0{displaystyle L>0}, se escolhemos x{displaystyle x} como o menor inteiro maior que L−1d{displaystyle {frac {L-1}{d}}}, temos f(x)>L{displaystyle f(x)>L}, i.e. f(x){displaystyle f(x)} é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para 0<a<1{displaystyle 0<a<1}.

Propriedade 6

Para qualquer c∈R{displaystyle cin mathbb {R} }, temos f(c){displaystyle f(c)} está bem definida. Além disso, temos:

limx→cf(x)=limh→0f(c+h)=limh→0ac+h=limh→0acah=aclimh→0ah{displaystyle lim _{xto c}f(x)=lim _{hto 0}f(c+h)=lim _{hto 0}a^{c+h}=lim _{hto 0}a^{c}a^{h}=a^{c}lim _{hto 0}a^{h}}

Como, limh→0ah=1{displaystyle lim _{hto 0}a^{h}=1}, seque que:

limx→cf(x)=f(c){displaystyle lim _{xto c}f(x)=f(c)}.

Lema

Dados um número real a≠1{displaystyle aneq 1} e um intervalo I=[c, d]⊂R+∗{displaystyle I=[c,~d]subset mathbb {R} _{+}^{*}}, com d>c{displaystyle d>c}, então existe um número racional r∈Q{displaystyle rin mathbb {Q} } tal que ar∈I{displaystyle a^{r}in I}.^[1]

Suponhamos, sem perda de generalidade, que a,c>1{displaystyle a,c>1}. Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural n1∈N{displaystyle n_{1}in mathbb {N} } tal que:

c<d<an1{displaystyle c<d<a^{n_{1}}}.

Como consequência, existe um número natural n2∈N{displaystyle n_{2}in mathbb {N} } tal que:

1<a<(1+d−can1)n2{displaystyle 1<a<left(1+{frac {d-c}{a^{n_{1}}}}right)^{n_{2}}}.

Daí, segue que:

1<a1n2<1+d−can1⇒0<an1(a1/n2−1)<d−c{displaystyle 1<a^{frac {1}{n_{2}}}<1+{frac {d-c}{a^{n_{1}}}}Rightarrow 0<a^{n_{1}}left(a^{1/n_{2}}-1right)<d-c}.

Assim:

mn2≤n1⇒amn2(a1n2−1)=am+1n2−amn2<d−c{displaystyle {frac {m}{n_{2}}}leq n_{1}Rightarrow a^{frac {m}{n_{2}}}left(a^{frac {1}{n_{2}}}-1right)=a^{frac {m+1}{n_{2}}}-a^{frac {m}{n_{2}}}<d-c}.

Desta forma, temos que:

a0< a1n2< a2n2< ⋯< an1{displaystyle a^{0}<~a^{frac {1}{n_{2}}}<~a^{frac {2}{n_{2}}}<~cdots <~a^{n_{1}}}

é uma sequência finita, cujos termos são extremos de intervalos consecutivos de tamanho menor que o do intervalo I=[c, d]{displaystyle I=[c,~d]}. Logo, pelo menos um dos termos desta sequência deve pertencer a I{displaystyle I}, i.e. para algum m{displaystyle m}, temos ar∈I{displaystyle a^{r}in I} com r=mn2{displaystyle r={frac {m}{n_{2}}}}.

Propriedade 7

Seja y∈R+∗{displaystyle yin mathbb {R} _{+}^{*}}. Suponhamos que a>1{displaystyle a>1}. Usando o lema anterior construímos uma sequência não-decrescente limitada (rn)n∈N{displaystyle (r_{n})_{nin mathbb {N} }} tal que arn∈[y−1n, y]{displaystyle a^{r_{n}}in left[y-{frac {1}{n}},~yright]}. Pela completude dos números reais, temos que rn→x{displaystyle r_{n}to x} quando n→∞{displaystyle nto infty }. Segue da continuidade de f(x){displaystyle f(x)} (propriedade 6), que:

ax=limn→∞arn=y{displaystyle a^{x}=lim _{nto infty }a^{r_{n}}=y}

i.e., dado y∈R+∗{displaystyle yin mathbb {R} _{+}^{*}}, existe x∈R{displaystyle xin mathbb {R} } tal que f(x)=ax=y{displaystyle f(x)=a^{x}=y}. A demonstração para 0<a<1{displaystyle 0<a<1} segue raciocínio análogo.

Propriedade 8

Consequência imediata das propriedades 4 e 7.

A função exponencial natural |

Ver artigo principal: função exponencial natural

Esboço do gráfico da função exponencial natural.

A função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler. Denotado por e^x ou exp(x), a função exponencial natural é uma das mais importantes funções da matemática e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:^[4]

ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯{displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{x^{n} over n!}=1+x+{x^{2} over 2!}+{x^{3} over 3!}+{x^{4} over 4!}+cdots }

ex=limn→∞(1+xn)n{displaystyle e^{x}=lim _{nto infty }left(1+{x over n}right)^{n}}

Aqui, n!{displaystyle n!} corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor da base da exponencial natural, e{displaystyle e}, é aproximadamente 2.718281828{displaystyle 2{.}718281828}.

A exponencial natural satisfaz as seguinte propriedades:^[4]

• A função y = e^x é contínua e diferenciável para todo x.


• A derivada da função y = e^x é a própria função função y = e^x.


• A função y = e^x é positiva e crescente para todo número real x.


• 
  e^x+y = e^xe^y
  


• A curva y = e^x jamais toca o eixo x, embora se aproxime de zero para valores negativos de x, isto é:

limx→−∞ex=0{displaystyle lim _{xto -infty }e^{x}=0}

• Os valores de y=e^x crescem ilimitadamente, isto é:

limx→+∞ex=+∞{displaystyle lim _{xto +infty }e^{x}=+infty }

• A função y=e^x cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos:

limx→−∞xnex=0.{displaystyle lim _{xto -infty }x^{n}e^{x}=0.}

• A função y=ex{displaystyle y=e^{x}} é igual a sua derivada, i.e.:

ddxex=ex{displaystyle {frac {text{d}}{{text{d}}x}}e^{x}=e^{x}}.

Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

ax=exln⁡a{displaystyle a^{x}=e^{xln a}}

Para todo a > 0 e x∈R.{displaystyle xin mathbb {R} .}

Derivada e integral da função exponencial |

Comportamento da função exponencial.

A derivada da função exponencial de base a{displaystyle a}, f(x)=ax{displaystyle f(x)=a^{x}} é dada por:^[5][6]

ddxf(x)=axln⁡a{displaystyle {frac {d}{dx}}f(x)=a^{x}ln a}.

De fato, como ax=e(ln⁡a)x{displaystyle a^{x}=e^{(ln a)x}} temos da regra da cadeia que:

ddxax=ddxe(ln⁡a)x=(ln⁡a)e(ln⁡a)x=axln⁡a{displaystyle {frac {text{d}}{{text{d}}x}}a^{x}={frac {text{d}}{{text{d}}x}}e^{(ln a)x}=(ln a)e^{(ln a)x}=a^{x}ln a}.

De forma análoga, obtermos a derivada segunda:

d2dx2ax=ddxaxln⁡a=ax(ln⁡a)2{displaystyle {frac {{text{d}}^{2}}{{text{d}}x^{2}}}a^{x}={frac {text{d}}{{text{d}}x}}a^{x}ln a=a^{x}(ln a)^{2}}

Como (ln⁡(a))2{displaystyle (ln(a))^{2}} é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a x, isto é a função exponencial é uma função convexa.

A integral indefinida da função exponencial é dada por:^[5][6]

∫axdx=∫eln⁡axdx=1ln⁡aeln⁡ax+C=1ln⁡aax+C{displaystyle int a^{x}{text{d}}x=int e^{ln ax}{text{d}}x={frac {1}{ln a}}e^{ln ax}+C={frac {1}{ln a}}a^{x}+C}.

Referências

Ver também |

• Crescimento exponencial

v • e Funções
Tipos	Analítica • Bijetora • Convexa • Divisor • Elementar • Exponencial • Fatorial • Identidade • Inclusão • Inteira • Inversa • Iterada • Limitada • Integral de Tchebychev • Logaritmo • Logaritmo natural • Monótona • Parcial • Polinomial • Retangular • Simples • Sinal • Sobrejetora • Suave
Trigonométricas	Seno • Cosseno • Tangente • Cotangente • Secante • Cossecante
Hiperbólicas	Seno hiperbólico • Cosseno hiperbólico • Tangente hiperbólica • Cotangente hiperbólica • Secante hiperbólica • Cossecante hiperbólica
Famosas	Ackermann • Bessel • Dirichlet • Gama • Heaviside • Mertens • Möbius • Weierstrass
Conceitos	Assimptota/Assíntota • Curva • Derivada • Espaço funcional • Espaço Lp • Gráficos • Integral • Limite • Injectividade • Parte inteira • Primitiva • Projeção • Reta
Funções em economia	Demanda • Oferta • Utilidade