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Erwin Schrödinger

Mecânica quântica

ΔxΔp≥ℏ2{displaystyle {Delta x},{Delta p}geq {frac {hbar }{2}}}

Princípio da Incerteza

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Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicado em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger.^[1]

Na mecânica clássica, a equação de movimento é a segunda lei de Newton, (F = ma) utilizada para prever matematicamente o que o sistema fará a qualquer momento após as condições iniciais do sistema. Na mecânica quântica, o análogo da lei de Newton é a equação de Schrödinger para o sistema quântico (geralmente átomos, moléculas e partículas subatômicas sejam elas livres, ligadas ou localizadas). Não é uma equação algébrica simples, mas, em geral, uma equação diferencial parcial linear, que descreve o tempo de evolução da função de onda do sistema (também chamada de "função de estado").^[2]:1–2

O conceito de uma função de onda é um postulado fundamental da mecânica quântica. A equação de Schrödinger também é muitas vezes apresentada como um postulado separado, mas alguns autores^{[3]:Capítulo 3} afirmam que pode ser derivada de princípios de simetria. Geralmente, "derivações" da equação demonstrando sua plausibilidade matemática para descrever dualidade onda-partícula.

Na interpretação padrão da mecânica quântica, a função de onda é a descrição mais completa que pode ser dada a um sistema físico. As soluções para a equação de Schrödinger descrevem não só sistemas moleculares, atômicas e subatômicas, mas também os sistemas macroscópicos, possivelmente, até mesmo todo o universo.^[4]:292ff A equação de Schrödinger, em sua forma mais geral, é compatível tanto com a mecânica clássica ou a relatividade especial, mas a formulação original do próprio Schrödinger era não-relativista.

A equação de Schrödinger não é a única maneira de fazer previsões em mecânica quântica — outras formulações podem ser utilizadas, tais como a mecânica matricial de Werner Heisenberg, e o trajeto da integração funcional de Richard Feynman.

Equação |

Equação dependente do tempo |

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante t{displaystyle t} por |ψ(r→,t)⟩{displaystyle left|psi ({vec {r}},t)rightrangle }. A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:^[5]

Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral) H^|ψ(r→,t)⟩=iℏ∂∂t|ψ(r→,t)⟩{displaystyle {hat {H}}left|psi ({vec {r}},t)rightrangle =ihbar {frac {partial }{partial t}}left|psi ({vec {r}},t)rightrangle }

Em que i{displaystyle i} é a unidade imaginária, ℏ{displaystyle hbar } é a constante de Planck dividida por 2π{displaystyle 2pi }, e o Hamiltoniano H^{displaystyle {hat {H}}} é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Equação independente do tempo |

Equação unidimensional |

Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[6]

−ℏ22md2ψdx2(x)+V(x)ψ(x)=Eψ(x){displaystyle {frac {-hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}left(xright)+Vleft(xright)psi left(xright)=Epsi left(xright)},

em que ψ(x){displaystyle psi left(xright)} é a função de onda independente do tempo em função da coordenada x{displaystyle x}; ℏ{displaystyle hbar } é a constante de Planck h{displaystyle h} dividida por 2π{displaystyle 2pi }; m{displaystyle m} é a massa da partícula; V(x){displaystyle Vleft(xright)} é a função energia potencial e E{displaystyle E} é a energia do sistema.

Equação multidimensional |

Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[7]

−ℏ22m∇2ψ(r→)+V(r→)ψ(r→)=Eψ(r→){displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{{nabla }^{2}}psi left({vec {r}}right)+Vleft({vec {r}}right)psi left({vec {r}}right)=Epsi left({vec {r}}right)}

em que ∇2ψ=∑n=1N∂2ψ∂xn2{displaystyle {nabla }^{2}psi =sum _{n=1}^{N}{frac {partial ^{2}psi }{partial x_{n}^{2}}}} é o operador laplaciano em N{displaystyle N} dimensões aplicado à função ψ{displaystyle psi }.

Relação com outros princípios |

Uma maneira mais didática de observar a equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica: Em=Ec+V{displaystyle E_{m}=E_{c}+V}

Equação do Oscilador harmônico: d2ψdx2+(2πλ)2ψ=0{displaystyle quad {frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}+left({frac {2pi }{lambda }}right)^{2}psi =0}

Relação de De Broglie: λ=hp{displaystyle lambda ={frac {h}{p}}}

Onde ψ{displaystyle psi } é a função de onda, λ{displaystyle lambda } é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que λ=hmv{displaystyle lambda ={frac {h}{mv}}}, que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

d2ψdx2+(2πmvh)2ψ=0→d2ψdx2=−4(π)2m2v2h2ψ→−h24(π)2m2d2ψdx2=v2ψ{displaystyle quad {frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}+left({frac {2pi mv}{h}}right)^{2}psi =0to quad {frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}={frac {-4(pi )^{2}m^{2}v^{2}}{h^{2}}}psi to {frac {-h^{2}}{4(pi )^{2}m^{2}}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}=v^{2}psi }

Rearranjando a equação de energia, temos que v2=2(Em−V)m{displaystyle v^{2}={frac {2(E_{m}-V)}{m}}}, substituindo v2{displaystyle v^{2}} na equação anterior:

−h24(π)2md2ψdx2=2(Em−V)ψ{displaystyle {frac {-h^{2}}{4(pi )^{2}m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}=2(E_{m}-V)psi } , definindo ℏ =h2π{displaystyle hbar ={frac {h}{2pi }}}, temos:

−ℏ22md2ψdx2+Vψ=Eψ{displaystyle {frac {-hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}+Vpsi =Epsi }

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

H^ψ=Eψ{displaystyle {widehat {H}}psi =Epsi }, em que H^ψ{displaystyle {widehat {H}}psi } é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Partícula em uma caixa rígida |

Ver artigo principal: Partícula em uma caixa

Oscilador harmônico quântico |

Ver artigo principal: Oscilador harmônico quântico

Assim como na mecânica clássica, a energia potencial do oscilador harmônico simples unidimensional é:^[8]

V(x)=12kx2{displaystyle Vleft(xright)={frac {1}{2}}kx^{2}}

Lembrando a relação ω=km{displaystyle omega ={sqrt {frac {k}{m}}}}, também pode se escrever:

V(x)=12mω2x2{displaystyle Vleft(xright)={frac {1}{2}}momega ^{2}x^{2}}

Então a equação de Schrödinger para o sistema é:

−ℏ22md2ψdx2+12mω2x2ψ=Eψ{displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}+{frac {1}{2}}momega ^{2}x^{2}psi =Epsi }

Solucionando a equação de Schrödinger, obtém-se os seguintes estados estacionários:

ψn(x)=12nn!⋅(mωπℏ)1/4⋅e−mωx22ℏ⋅Hn(mωℏx),{displaystyle psi _{n}(x)={sqrt {frac {1}{2^{n},n!}}}cdot left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/4}cdot e^{-{frac {momega x^{2}}{2hbar }}}cdot H_{n}left({sqrt {frac {momega }{hbar }}}xright),qquad }

n=0,1,2,….{displaystyle n=0,1,2,ldots .}

em que H_n são os polinômios de Hermite.

Hn(x)=(−1)nex2dndxn(e−x2){displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}left(e^{-x^{2}}right)}

E os níveis de energia correspondentes são:

En=ℏω(n+12).{displaystyle E_{n}=hbar omega left(n+{1 over 2}right).}

Isso ilustra novamente a quantização da energia de estados ligados.

Átomo de Hidrogênio |

Ver artigo principal: Solução da Equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio

Ver também |

• Mecânica Quântica


• Gato de Schrödinger


• Nobel de Física

Referências

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• Portal da física