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Em matemática, e mais especificamente na topologia algébrica , a característica de Euler (ou característica de Euler–Poincaré) é um invariante topológico, um número que descreve a forma ou a estrutura de um espaço topológico independentemente da forma como ela é dobrada. Este invariante foi descoberto por Leonhard Euler e demonstrada em geral por Henri Poincaré e costuma ser denotado por χ{displaystyle chi } (a letra grega Chi).

A característica de Euler foi definida originalmente para poliedros, tendo sido utilizada para demonstrar vários teoremas sobre eles, incluindo a classificação dos sólidos platônicos. Leonhard Euler, matemático cujo nome é atribuído ao conceito, foi responsável por grande parte deste trabalho inicial. Na matemática moderna, a característica de Euler surge a partir da homologia e está relacionada a vários outros invariantes.

Definição |

A característica de Euler de um complexo simplicial M{displaystyle M,} é dada por

χ(M)=n0−n1+n2−n3+⋯{displaystyle chi (M)=n_{0}-n_{1}+n_{2}-n_{3}+cdots }

onde nk{displaystyle n_{k},} é o número de células de dimensão k{displaystyle k,}.

Característica de Euler de superfícies |

A característica de Euler de um cubo (topologicamente uma esfera) é 6-12+8=2.

A característica de Euler de uma superfície S{displaystyle S,} é dada por χ(S)=V−A+F{displaystyle chi (S)=V-A+F,}, onde V,A{displaystyle V,A,} e F{displaystyle F,} são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de S{displaystyle S,}. Em particular a característica de Euler:

• da esfera é χ(S2)=2{displaystyle chi (mathbb {S} ^{2})=2}
  


• do plano projectivo é χ(P2)=1{displaystyle chi (mathbb {P} ^{2})=1}
  


• do disco é χ(D2)=1{displaystyle chi (mathbb {D} ^{2})=1}
  


• do toro é χ(S1×S1)=0{displaystyle chi (mathbb {S} ^{1}times mathbb {S} ^{1})=0}
  


• do anel é χ(S1×I)=0{displaystyle chi (mathbb {S} ^{1}times I)=0}
  


• da garrafa de Klein é χ(K)=0{displaystyle chi (mathbb {K} )=0}
  


• da fita de Möbius é χ(M)=0{displaystyle chi (mathbb {M} )=0}
  

e em geral χ(S)=2−2g{displaystyle chi (S)=2-2g,}, onde g{displaystyle g,} é o género de S{displaystyle S,}, quando orientável e compacta.

Exemplos de poliedros convexos |

A fórmula de Euler para poliedros convexos é V + F = A + 2, e a característica de Euler generaliza esta expressão para qualquer número de dimensões e para polítopos que não são, topologicamente, equivalentes à esfera (ou hiperesfera).

Name	Image	Vértices V	Arestas A	Faces F	Característica de Euler: V − A + F
Tetraedro		4	6	4	2
Hexaedro ou cubo		8	12	6	2
Octaedro		6	12	8	2
Dodecaedro		20	30	12	2
Icosaedro		12	30	20	2

Característica de Euler de variedades de dimensão ímpar |

Pela dualidade de Poincaré, a característica de Euler de uma variedade fechada e compacta de dimensão ímpar é nula.

Ver também |

• Lakatos (1976). Proofs and Refutations. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521290384