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 Nota: Para outros significados, veja Sequência.

Em matemática, o conceito de sucessão ^{(português europeu)} ou sequência ^{(português brasileiro)} tem significado similar ao uso comum da palavra, mas recebe uma definição precisa. Formalmente falando, uma sequência é uma função cujo domínio é um conjunto contável totalmente ordenado. Define-se o tamanho de uma sequência pelo número de elementos que esta possuí, podendo existir sequências infinitas ou finitas. ^[1]

Definição e Notação |

Em análise matemática, define-se uma sequência como uma função…x−2x−1.x0x1x2…{displaystyle ldots x_{-2}x_{-1}.x_{0}x_{1}x_{2}ldots } f:A⊂N→B{displaystyle f:Asubset mathbb {N} to B} definida sobre um subconjunto A{displaystyle A} dos números naturais que toma elementos no conjunto B{displaystyle B}.^[2]

Usualmente para sequências, denotamos o valor de f{displaystyle f} em n{displaystyle n} por fn,{displaystyle f_{n},} em vez de f(n).{displaystyle f(n).} Este termo fn{displaystyle f_{n}} é dito ser o n{displaystyle n}-ésimo termo da sequência. A notação (fn)n∈A{displaystyle (f_{n})_{nin A}} é usada para denotar a sequência f{displaystyle f}, cujos índices são tomados no conjunto A{displaystyle A}. Quando o conjunto dos índices A{displaystyle A} está subentendido, normalmente escrevemos (fn)n{displaystyle (f_{n})_{n}} ou, simplesmente, (fn){displaystyle (f_{n})}. Por extenso, escrevemos (fn)n=(f1,f2,f3,…){displaystyle (f_{n})_{n}=(f_{1},f_{2},f_{3},ldots )}. Observamos, ainda, que as notações  {fn}n=1∞{displaystyle {f_{n}}_{n=1}^{infty }} e {fn}{displaystyle {f_{n}}} também são encontradas, embora estas se confundem com a notação usual para conjuntos.^{[3][4][5][6][7]}

Sequências infinitas |

Uma sequência numérica infinita é uma função f:N→B{displaystyle f:mathbb {N} to B}, cujo domínio é o conjunto dos número naturais.^[5][6][7] Com menos formalidade, uma sequência infinita é uma sequência em que todo termo possui um sucessor. Alguns exemplos são:

1. a sequência de números pares (2, 4, 6,...);


2. a sequência de números primos (2, 3, 5, 7,...);


3. a sequência de aproximações por falta para π{displaystyle pi } (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1416,...);


4. a sequência (1, 1, 1, 1, 1,...).

Sequências bi-infinitas |

No estudo de dinâmica simbólica^[8], é usado o conceito de uma sequência bi-infinita: uma sequência que é indexada não por N{displaystyle mathbb {N} }, mas por Z{displaystyle mathbb {Z} }. Assim, usa-se a notação (xk)k∈Z{displaystyle (x_{k})_{kin mathbb {Z} }}para se referir a sequência (…,x−2,x−1,x0,x1,x2,…){displaystyle (ldots ,x_{-2},x_{-1},x_{0},x_{1},x_{2},ldots )}. Também usa-se a notação mais compacta …x−2x−1.x0x1x2…{displaystyle ldots x_{-2}x_{-1}.x_{0}x_{1}x_{2}ldots } com um ponto separando a parte com índices negativos da parte com índices naturais.

Sequência de números reais |

Ver artigo principal: Sequência de números reais

Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Isto é, uma sequência de números reais (an)n{displaystyle (a_{n})_{n}} é uma função a:N→R{displaystyle a:mathbb {N} to mathbb {R} }. O estudo destas sequências traz resultados importantes na análise matemática de funções reais. ^[5][6] São exemplos de sequências reais:

a) (1n)n=(1, 12, 13, …, 1n, …){displaystyle left({frac {1}{n}}right)_{n}=left(1,~{frac {1}{2}},~{frac {1}{3}},~ldots ,~{frac {1}{n}},~ldots right)}

b) (2n−4)n=(−2, 0, 2, …, 2n−4, …){displaystyle (2n-4)_{n}=(-2,~0,~2,~ldots ,~2n-4,~ldots )}

c) (1, −1, 1, …, (−1)n+1, …){displaystyle (1,~-1,~1,~ldots ,~(-1)^{n+1},~ldots )}

Sequências definidas de forma recursiva |

Dizemos que uma sequência (an)n{displaystyle (a_{n})_{n}} está recursivamente definida quando são dados o seu primeiro termo a1{displaystyle a_{1}} e uma lei explícita que relaciona seu n{displaystyle n}-ésimo termo, n>1,{displaystyle n>1,} com um ou mais termos anteriores, i.e. é explicitamente dada uma função an=f(a1,a2,…,an−1){displaystyle a_{n}=f(a_{1},a_{2},ldots ,a_{n-1})}. Sequências definidas recursivamente são, também, chamadas de sequências indutivas ou recorrentes.

Na sequência, apresentamos algumas sequências recorrentes comumente estudas.

Progressão Aritmética |

Ver artigo principal: Progressão aritmética

Em uma progressão aritmética (P.A.), cada termo é igual à soma do termo anterior com uma constante denominada "razão da P.A.". Essa razão é geralmente representada pela letra r. Escrevemos então an=a1+(n−1)r{displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)r} ou an=an−1+r{displaystyle a_{n}=a_{n-1}+r}, onde a1{displaystyle a_{1}} e r{displaystyle r} são constantes previamente definidas.

Exemplos

• a1=1,r=1:(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)⇔an=an−1+1,a1=1,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=1,r=1:(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}+1,a_{1}=1,n=2,3,...}


• a1=−3,r=5:(−3,2,7,12,17,22,27,...)⇔an=an−1+5,a1=−3,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=-3,r=5:(-3,2,7,12,17,22,27,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}+5,a_{1}=-3,n=2,3,...}


• a1=13,r=−3:(13,10,7,4,1,−2,−5...)⇔an=an−1−3,a1=13,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=13,r=-3:(13,10,7,4,1,-2,-5...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}-3,a_{1}=13,n=2,3,...}

Progressão Geométrica |

Ver artigo principal: Progressão geométrica

Em uma progressão geométrica (P.G.), cada termo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada "razão da P.G.". Ou seja, (an)n{displaystyle (a_{n})_{n}} é uma progressão geométrica quando an=an−1q{displaystyle a_{n}=a_{n-1}q}, n>1{displaystyle n>1}, tendo sido dados o primeiro termo a1{displaystyle a_{1}} e a razão q{displaystyle q}.

Exemplos

• a1=1,q=1:(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)⇔an=an−11,a1=1,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=1,q=1:(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}1,a_{1}=1,n=2,3,...}


• a1=3,q=−1:(3,−3,3,−3,3,−3,3,−3,...)⇔an=an−1(−1),a1=3,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=3,q=-1:(3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}(-1),a_{1}=3,n=2,3,...}


• a1=16,q=−12:(16,−8,4,−2,1,−12,14...)⇔an=an−1(−12),a1=16,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=16,q=-{frac {1}{2}}:(16,-8,4,-2,1,{frac {-1}{2}},{frac {1}{4}}...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}left(-{frac {1}{2}}right),a_{1}=16,n=2,3,...}

Sequência de Fibonacci |

Ver artigo principal: Sequência de Fibonacci

Espiral baseada na sequência de Fibonacci.

A sequência de Fibonacci (fn)n{displaystyle (f_{n})_{n}} é definida por f1=0{displaystyle f_{1}=0}, f2=1{displaystyle f_{2}=1} e fn=fn−2+fn−1{displaystyle f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}}, paran=3,4,5,...{displaystyle n=3,4,5,...}, i.e.:

(fn)n=(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...){displaystyle (f_{n})_{n}=(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...)}

Método para extração da raiz quadrada |

Exemplo ilustrativo do método da raiz quadrada.

Dado um número positivo qualquer c{displaystyle c}, desejamos encontrar um número x{displaystyle x} positivo tal que x2=c{displaystyle x^{2}=c}. Suponhamos, agora, que nos é conhecida apenas uma aproximação x~>0{displaystyle {tilde {x}}>0} para x{displaystyle x}. Notemos que:

x~cx~=c{displaystyle {tilde {x}}{frac {c}{tilde {x}}}=c}

e, observamos que:

1. 
   c{displaystyle {sqrt {c}}} é um valor entre x~{displaystyle {tilde {x}}} e cx~{displaystyle {frac {c}{tilde {x}}}};


2. se a aproximação x~{displaystyle {tilde {x}}} aumenta de valor, então o fator cx~{displaystyle {frac {c}{tilde {x}}}} diminui e vice-versa;


3. 
   x{displaystyle x} é solução de x2=c{displaystyle x^{2}=c}, se x=cx{displaystyle x={frac {c}{x}}}.

Destas observações, vemos que uma melhor aproximação para c{displaystyle {sqrt {c}}} pode ser obtida tomando a média aritmética entre x~{displaystyle {tilde {x}}} e cx~{displaystyle {frac {c}{tilde {x}}}}, i.e.:

a1=12(x~+cx~){displaystyle a_{1}={frac {1}{2}}({tilde {x}}+{frac {c}{tilde {x}}})}.

Agora, a1{displaystyle a_{1}} é uma nova aproximação de x{displaystyle x} e, repetindo o argumento acima, temos que a média:

a2=12(a1+ca1){displaystyle a_{2}={frac {1}{2}}(a_{1}+{frac {c}{a_{1}}})}

é uma aproximação para x{displaystyle x} ainda melhor que a1{displaystyle a_{1}}.

Seja, então, (an)n{displaystyle (a_{n})_{n}} a sequência definida recursivamente por:

a1=x~,an=12(an−1+can−1),n=2,3,...{displaystyle a_{1}={tilde {x}},quad a_{n}={frac {1}{2}}(a_{n-1}+{frac {c}{a_{n-1}}}),n=2,3,...}.

Podemos mostrar que an{displaystyle a_{n}} converge para c{displaystyle {sqrt {c}}}. Esta sequência tem origem na Mesopotâmia (séc. XVIII a.C.) e é talvez o método mais eficiente para extração da raiz quadrada.^[6]

Ver também |

• Fórmula do termo geral


• Progressão aritmética


• Progressão geométrica


• Sequência de Farey


• Sequência de Fibonacci


• Sequência de Thue-Morse


• Polinômios de Boubaker


• Sequência de Golomb

Referências

Bibliografia |

• Ávila, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. Edgard Blucher. ISBN 85-212-0295-4
  


• 
  Lima, Elon Lages. Análise real. Rio de Janeiro: IMPA.


• Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. 2 ed. New York, McGraw-Hill, 1964.


• Michael Spivak. Calculus. Publish or Perish, 2008. ISBN 978-0-914098-91-1.

v • e Séries e Sequência
Aritmética sequência	Séries divergentes 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ Infinita série aritmética
Geométrica sequência	Série convergente 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ Divergente séries geométrica 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Série de Grandi) Potência de 2 Potência de 10
Hipergeométrica sequências	Função geral hipergeométrica Função hipergeométrica de um argumento matriz Função de Lauricella Função modular hipergeométrica Equação diferencial de Riemann Função Theta hipergeométrica
Inteiros sequência	Completa Cubo Fatorial Número de Fibonacci Número figurado Número heptagonal Número hexagonal Lista de sequências Sequência de Lucas Número de Pell Número pentagonal Número poligonal Quadrado perfeito Número triangular
Outras sequências	Séries divergentes 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ Sequência periódica

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