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Ilustração artística de um espaço vetorial
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Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o espaço vetorial ou espaço linear.
A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto.[1]
Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a n{displaystyle n} (n∈N{displaystyle nin mathbb {N} }) formam um espaço vetorial,[2] por exemplo, assim como grupos de matrizes m×n{displaystyle mtimes n}[3] e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais.
Índice
1Definição
2Exemplos
3Propriedades
4Terminologia
5Tipos de espaços vectoriais
6Ver também
7Referências
8Bibliografia
9Ligações externas
Definição |
Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:
Um corpoK,{displaystyle K,} ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares.[4][1] Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
Um conjunto V{displaystyle V} dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +{displaystyle +}) de V×V{displaystyle Vtimes V} em V.{displaystyle V.} Os elementos de V{displaystyle V} serão chamados de vetores.[4][1]
Uma operação ⋅{displaystyle cdot } de K×V{displaystyle Ktimes V} em V.{displaystyle V.}
Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, são usados os símbolos de soma (+{displaystyle +}) e produto (⋅{displaystyle cdot }) para representar, em cada caso, duas funções distintas: a+b{displaystyle a+b} para elementos de K{displaystyle K} não é o mesmo que a+b{displaystyle a+b} para elementos de V,{displaystyle V,} assim como a⋅b{displaystyle acdot b} para elementos de K{displaystyle K} não é o mesmo que a⋅b{displaystyle acdot b} quando a{displaystyle a} ∈ K{displaystyle K} e b{displaystyle b} ∈ V.{displaystyle V.} Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar (+,×){displaystyle (+,times )} para as operações de K{displaystyle K} e (⊕,⊗){displaystyle (oplus ,otimes )} para as operações de V×V{displaystyle Vtimes V} em V{displaystyle V} e de K×V{displaystyle Ktimes V} em V.{displaystyle V.} Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com seis elementos) (V,K,⊕,⊗,+,×).{displaystyle (V,K,oplus ,otimes ,+,times ).}
Os seguintes axiomas (além de K{displaystyle K} ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vectorial:[5][1]
(u+v)+w=u+(v+w){displaystyle (u+v)+w=u+(v+w)} para u,v,w∈V{displaystyle u,v,win V} (associatividade)
Há um elemento 0{displaystyle 0} ∈ V,{displaystyle V,} tal que, para cada v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,}v+0=0+v=v{displaystyle v+0=0+v=v} (existência de elemento neutro)
Para cada v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,} existe u{displaystyle u} ∈ V{displaystyle V} tal que v+u=0{displaystyle v+u=0} (existência de elemento oposto)
Para cada v,u{displaystyle v,u} ∈ V,{displaystyle V,}u+v=v+u{displaystyle u+v=v+u} (comutatividade)
Para cada a,b{displaystyle a,b} ∈ K{displaystyle K} e cada v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,}a⋅(b⋅v)=(a⋅b)⋅v{displaystyle acdot (bcdot v)=(acdot b)cdot v} (associatividade da multiplicação por escalar)
Se 1{displaystyle 1} é a unidade de K,{displaystyle K,} então, para cada v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,}1⋅v=v{displaystyle 1cdot v=v} (existência do elemento neutro em V{displaystyle V})
Para cada a{displaystyle a} ∈ K{displaystyle K} e cada v,u{displaystyle v,u} ∈ V,{displaystyle V,}a⋅(v+u)=a⋅v+a⋅u{displaystyle acdot (v+u)=acdot v+acdot u} (distributiva de um escalar em relação à soma de vetores)
Para cada a,b{displaystyle a,b} ∈ K{displaystyle K} e cada v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,}(a+b)⋅v=a⋅v+b⋅v{displaystyle (a+b)cdot v=acdot v+bcdot v} (distributiva da soma de escalares em relação a um vetor)
Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano. O elemento u{displaystyle u} cuja existência é garantida pelo terceiro axioma é único (como em qualquer grupo) e representa-se por −v.{displaystyle -v.}
O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto V{displaystyle V} é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo K,{displaystyle K,} e definir adição em V{displaystyle V} e multiplicação por escalar em V.{displaystyle V.} Então se V{displaystyle V} satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo K.{displaystyle K.}
Em uma demonstração rigorosa, os axiomas 2 e 3 (elemento neutro e elemento oposto em V{displaystyle V}) podem ser omitidos, porque eles podem ser facilmente deduzidos a partir dos outros axiomas:
Sejam 0 e 1 os elementos neutros aditivo e multiplicativo de K.{displaystyle K.} Então, como 1⋅v=v{displaystyle 1cdot v=v} qualquer que seja v{displaystyle v}, temos que 0⋅v+v=0⋅v+1⋅v=(0+1)⋅v=1⋅v=v{displaystyle 0cdot v+v=0cdot v+1cdot v=(0+1)cdot v=1cdot v=v}, ou seja, 0⋅v{displaystyle 0cdot v} é o elemento neutro de V.{displaystyle V.}
Em K{displaystyle K}, existe um elemento −1{displaystyle -1} tal que −1+1=0.{displaystyle -1+1=0.} Logo, (−1)⋅v+v=(−1)⋅v+1⋅v=(−1+1)⋅v=0⋅v{displaystyle (-1)cdot v+v=(-1)cdot v+1cdot v=(-1+1)cdot v=0cdot v}, ou seja, (−1)⋅v{displaystyle (-1)cdot v} é o elemento oposto de v.{displaystyle v.}
Exemplos |
Seja V{displaystyle V} formado por um único elemento a.{displaystyle a.} Então, definindo-se a+a=a{displaystyle a+a=a} e k⋅a=a{displaystyle kcdot a=a} para todo elemento k{displaystyle k} de um corpo K,{displaystyle K,} temos que V{displaystyle V} é um espaço vetorial com K{displaystyle K} como corpo de escalares. Obviamente, como a{displaystyle a} é o elemento neutro de V,{displaystyle V,} isto é, a=0,{displaystyle a=0,} este espaço vetorial é representado por V=0.{displaystyle V={0}.}
Outro exemplo simples é considerar V=K,{displaystyle V=K,} e as operações de espaço vetorial sendo as mesmas operações do corpo.
Seja V=K2{displaystyle V=K^{2}} o conjunto dos pares ordenados de elementos de K.{displaystyle K.} Então, definindo-se (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d){displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)} e k⋅(a,b)=(ka,kb){displaystyle kcdot (a,b)=(ka,kb)}, temos que V{displaystyle V} é um espaço vetorial.
Seja I{displaystyle I} um conjunto qualquer (chamado, neste contexto, de conjunto de indices). Então o conjunto das funções de I{displaystyle I} em K{displaystyle K} é um espaço vetorial, definindo-se naturalmente a soma de duas funções e o produto de um escalar por uma função.
Este último exemplo é, de forma geral, a forma de qualquer outro espaço vetorial, porém este resultado requer, em sua demonstração, conceitos abstratos como a teoria das categorias e o axioma da escolha.
Propriedades |
Se v∈V,{displaystyle vin V,} então 0⋅v=0.{displaystyle 0cdot v=0.}[6] Isto é assim porque
Se a{displaystyle a} ∈ K{displaystyle K} e v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,} então a⋅(−v)=−(a⋅v).{displaystyle acdot (-v)=-(acdot v).}[6] Isto é assim porque
Um espaço vetorial sobre R,{displaystyle mathbb {R} ,} o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
Um espaço vetorial sobre C,{displaystyle mathbb {C} ,} o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vectorial normado.
Tipos de espaços vectoriais |
Espaço Vectorial Euclidiano: É qualquer espaço real que possui um número finito de dimensões e possui uma operação denominada produto interno.[7]
Espaço de Hilbert: É qualquer espaço vetorial que possui uma operação denominada produto interno e cuja métrica gerada por esse produto interno o torne um espaço completo.
Espaço normado: É qualquer espaço vetorial que possui uma norma definida
Espaço de Banach: É um espaço normado completo na métrica gerada por esta norma.
Espaço vectorial topológico: se existe uma topologia compatível com as operações de espaço vectorial.
Ver também |
Base de um Espaço Vetorial
Subespaço vetorial
Módulo (álgebra): a generalização de espaço vetorial, quando o conjunto dos escalares é um anel
Álgebra sobre um corpo: se existe uma multiplicação de vetores satisfazendo alguns axiomas
Referências
↑ abcdNoble & Daniel, 1986, p. 85–86
↑Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 46
↑Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 45
↑ abCallioli, Domingues & Costa, 1990, p. 47
↑Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 44
↑ abCallioli, Domingues & Costa, 1990, p. 50
↑Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 159
Bibliografia |
Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
Noble, Ben; James W. Daniel (1986). Álgebra Linear Aplicada. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil. ISBN 9788570540225A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
Ligações externas |
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Livro Álgebra Vetorial e Geometria Analítica: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 242 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.
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Some time ago, I set up skydrive for my wife on her mac. But now she wants to access the files online, I cannot remember what Microsoft account I setup and linked her skydive app to and nor can I see anything in the skydrive app settings to tell me either? How can I see the name of the Microsoft account the skydive app is currently linked to? I would like to know this for skydrive app for Mac and PC
onedrive
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asked Feb 25 '13 at 4:52
Gary Barrett
260 2 5 12
A tradução deste artigo está abaixo da qualidade média aceitável. É possível que tenha sido feita por um tradutor automático ou por alguém que não conhece bem o português ou a língua original do texto. Caso queira colaborar com a Wikipédia, tente encontrar a página original e melhore este verbete conforme o guia de tradução. Grease: Live! Grease: Live! (PRT/BRA) Estados Unidos 2016 • cor • 130 min. min Direção Thomas Kail Alex Rudzinski Produção Marc Platt Adam Siegel Roteiro Allan Carr Robert Cary Warren Casey Jim Jacobs Jonathan Tolins Bronte Woodard Baseado em Grease (musical) Grease (filme) Elenco Julianne Hough Aaron Tveit Vanessa Hudgens Carlos Pena Jr. Keke Palmer Carly Rae Jepsen Kether Donohue Jordan Fisher David Del Rio Andrew Call Gênero Musical Música Tom Kitt Figurino William Ivey Long Companhia(s) produtora(s) Warner Bros. Studios Distribuição Fox Lançamento 31 de Janei
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I just watched Stephan T. Lavavej talk at CppCon 2018 on "Class Template Argument Deduction", where at some point he incidentally says: In C++ type information almost never flows backwards ... I had to say "almost" because there's one or two cases, possibly more but very few . Despite trying to figure out which cases he might be referring to, I couldn't come up with anything. Hence the question: In which cases the C++17 standard mandates that type information propagate backwards?
c++ language-lawyer c++17
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edited 7 hours ago
scohe0
ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares.[4][1] Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +{displaystyle +}
) de V×V{displaystyle Vtimes V}
em V.{displaystyle V.}
Os elementos de V{displaystyle V}
de K×V{displaystyle Ktimes V}
em V.{displaystyle V.}
para u,v,w∈V{displaystyle u,v,win V}
(associatividade)
∈ V,{displaystyle V,}
∈ V,{displaystyle V,}
(existência de elemento neutro)
∈ V{displaystyle V}
(existência de elemento oposto)
∈ V,{displaystyle V,}
(comutatividade)
∈ K{displaystyle K}
(associatividade da multiplicação por escalar)
é a unidade de K,{displaystyle K,}
(existência do elemento neutro em V{displaystyle V}
(distributiva de um escalar em relação à soma de vetores)
(distributiva da soma de escalares em relação a um vetor)
Então, como 1⋅v=v{displaystyle 1cdot v=v}
, ou seja, 0⋅v{displaystyle 0cdot v}
é o elemento neutro de V.{displaystyle V.}
tal que −1+1=0.{displaystyle -1+1=0.}
Logo, (−1)⋅v+v=(−1)⋅v+1⋅v=(−1+1)⋅v=0⋅v{displaystyle (-1)cdot v+v=(-1)cdot v+1cdot v=(-1+1)cdot v=0cdot v}
, ou seja, (−1)⋅v{displaystyle (-1)cdot v}
é o elemento oposto de v.{displaystyle v.}
Então, definindo-se a+a=a{displaystyle a+a=a}
e k⋅a=a{displaystyle kcdot a=a}
para todo elemento k{displaystyle k}
de um corpo K,{displaystyle K,}
este espaço vetorial é representado por V=0.{displaystyle V={0}.}
e as operações de espaço vetorial sendo as mesmas operações do corpo.
o conjunto dos pares ordenados de elementos de K.{displaystyle K.}
e k⋅(a,b)=(ka,kb){displaystyle kcdot (a,b)=(ka,kb)}
, temos que V{displaystyle V}
um conjunto qualquer (chamado, neste contexto, de conjunto de indices). Então o conjunto das funções de I{displaystyle I}
então 0⋅v=0.{displaystyle 0cdot v=0.}
[6] Isto é assim porque
Isto é assim porque
[6] Isto é assim porque
o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
